Применение теоремы Гаусса для расчета электростатических полей

Теория:

1. Теорема Гаусса:

   • Теорема Гаусса используется для вычисления электрических полей с помощью интеграла от напряженности поля через замкнутую поверхность.

   • Согласно теореме Гаусса, поток электрического поля через замкнутую поверхность $\Phi_E$ равен внутреннему заряду, деленному на диэлектрическую проницаемость вакуума: $\Phi_E = \frac{Q}{\varepsilon_0}$.

2. Применение теоремы Гаусса:

   • Теорема Гаусса обычно применяется для вычисления электрических полей с помощью симметричных конфигураций зарядов, таких как бесконечно длинные прямолинейные нити, плоскости или сферы, где можно легко определить направление и величину напряженности поля.

3. Процесс применения теоремы Гаусса:

   • Выбирается замкнутая поверхность, внутри которой известно или можно легко выразить распределение зарядов.

   • Определяется величина заряда внутри выбранной поверхности.

   • Рассчитывается поток электрического поля через выбранную поверхность.

   • На основе теоремы Гаусса находим напряженность электрического поля.

Примеры применения:

1. Бесконечно длинная прямая нить:

   • Для расчета поля бесконечно длинной прямой нити с линейной плотностью заряда $\lambda$, можно выбрать цилиндрическую поверхность радиуса $r$, перпендикулярную нити.

   • Так как поток через боковую поверхность цилиндра равен нулю, остается только поток через его основание.

   • Применяя теорему Гаусса, можно легко определить напряженность поля вокруг бесконечно длинной нити.

2. Плоская заряженная пластина:

   • Для расчета поля плоской заряженной пластины с поверхностной плотностью заряда $\sigma$, можно выбрать параллелепипед, включающий пластину.

   • Поскольку поле однородно и параллельно пластине, поток через боковые грани параллелепипеда равен нулю, и остается только поток через его основания.

   • Применяя теорему Гаусса, можно выразить напряженность поля в зависимости от поверхностной плотности заряда пластины.

3. Заряженный шар:

   • Для расчета поля вокруг заряженного шара с объемной плотностью заряда $\rho$, можно выбрать сферическую поверхность с центром в центре шара.

   • Поскольку поле радиально симметрично, поток через сферическую поверхность можно легко выразить и использовать теорему Гаусса для нахождения напряженности поля в зависимости от объемной плотности заряда.

Задачи:

1. Поле вокруг бесконечно длинной прямой нити:

   • Найти напряженность поля на расстоянии $r$ от бесконечно длинной прямой нити с линейной плотностью заряда $\lambda$.

2. Поле вокруг плоской заряженной пластины:

• Найти напряженность поля на расстоянии $r$ от плоской заряженной пластины с поверхностной плотностью заряда $\sigma$.

1. Поле вокруг заряженного шара:

   • Найти напряженность поля на расстоянии $r$ от центра заряженного шара с объемной плотностью заряда $\rho$.