10.04.2024 / Электромагнитные колебани

Ссылка на презентацию, которая была на уроке

Конспект

Гармонические колебания

Колебания (или колебательные движения) представляют собой изменения состояния системы, обладающие повторяющимся характером во времени. Они могут иметь различную физическую природу.

Классификация колебаний:

1. По характеру физических процессов:

   • Электромагнитные: колебания переменного электрического поля в цепи, такие как колебания векторов Е и В.

   • Механические: колебания маятников, струн, частей машин и механизмов, волнение жидкостей и т.д.

   • Электромеханические: например, колебания мембраны телефона или диффузора динамика.

2. По характеру зависимости от времени:

   • Периодические

   • Непериодические

3. По способу возбуждения колебаний:

   • Свободные

   • Вынужденные

   • Параметрические

   • Автоколебания

Колебательная система, совершающая колебания, называется колебательной системой.

Гармонические колебания – это колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса.

Характеристики гармонических колебаний:

• Период (T): наименьший промежуток времени, через который повторяются значения всех физических величин, характеризующих колебательное движение.

• Частота (f): число полных колебаний, совершаемых в единицу времени.

Гармонические колебания могут быть представлены с использованием вращающегося вектора амплитуды, с формулой:

$X = A \cos(\omega t + \phi_0)$

где:

• ( X ) - колеблющаяся величина,

• ( A ) - амплитуда,

• ( \omega ) - угловая частота,

• ( t ) - время,

• ( \phi_0 ) - начальная фаза.

Квазистационарные токи. Процессы в колебательном контуре

Примером электрической цепи, в которой могут происходить свободные электрические колебания, служит простейший колебательный контур. Для простейшего колебательного контура ( R = 0 ).

При замыкании на катушку предварительно заряженного конденсатора ( C ) в колебательном контуре возникают свободные колебания заряда конденсатора и тока в катушке (( R = 0 )).

Энергия электрического поля запасается между обкладками конденсатора ( C ) по формуле:

$W_e = \frac{1}{2} C U^2$

Энергия магнитного поля сосредоточена в катушке ( L ) по формуле:

$W_m = \frac{1}{2} L I^2$

Если ( R \rightarrow 0 ), то полная энергия:

$W = W_e + W_m$

Переменное электромагнитное поле распространяется в пространстве со скоростью равной скорости света $c = 3 \times 10^8$ м/с. Если $l$ – линейные размеры контура не велики $( l \ll c / \nu )$, $\nu$ – частота колебаний в контуре), то в каждый момент времени сила тока во всех частях контура одинакова. Такой переменный ток называется квазистационарным.

Правило Ленца гласит, что индукционный ток в контуре всегда имеет такое направление, чтобы его магнитное поле препятствовало изменению магнитного потока, вызвавшего этот индукционный ток.

Закон Ома для контура:

$U_C = -L \frac{dI}{dt}$

Из закона сохранения заряда следует, что сила квазистационарного тока:

$I = \frac{U_C}{R}$

Дифференциальное уравнение колебаний заряда ( Q ) в контуре – дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний можно записать следующим образом:

$\frac{d^2Q}{dt^2} + 2\beta \frac{dQ}{dt} + \omega_0^2 Q = 0$

Где:

• $\beta$ - коэффициент затухания,

• $\omega_0$ - собственная частота гармонических колебаний.

Уравнение гармонических колебаний:

Гармонические колебания заряда $Q$ в контуре описываются уравнением:

$Q(t) = Q_m \cos(\omega_0 t + \phi)$

Где:

• $Q_m$ - амплитуда заряда на конденсаторе $C$,

• $\omega_0$ - собственная частота гармонических колебаний,

• $\phi$ - начальная фаза.

Формула Томсона:

Формула Томсона связывает амплитуду тока и амплитуду напряжения:

$I_m = \frac{Q_m}{L}$

$U_m = Q_m \frac{1}{C}$

Затухающие электрические колебания:

В реальном контуре сопротивление ( R \neq 0 ), что приводит к потере энергии и затуханию колебаний. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний имеет вид:

$\frac{d^2Q}{dt^2} + 2\beta \frac{dQ}{dt} + \omega_0^2 Q = 0$

Решение этого уравнения зависит от значения коэффициента затухания $\beta$.

Частота затухающих колебаний:

Частота затухающих колебаний ( \omega_d ) связана с собственной частотой контура $\omega_0$ следующим образом:

$\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}$

Логарифмический декремент затухания:

Логарифмический декремент затухания ( \Lambda ) определяется как отношение амплитуды колебаний на двух последовательных периодах:

$\Lambda = \ln{\frac{Q_m(t)}{Q_m(t+T)}}$

Добротность колебательной системы:

Добротность колебательной системы ( Q ) определяется как отношение энергии системы к потере энергии за период:

$Q = \frac{W(t)}{W(t) - W(t+T)}$

Вынужденные электрические колебания:

При включении внешней ЭДС в контур возникают вынужденные колебания. Дифференциальное уравнение для вынужденных колебаний имеет вид:

$\frac{d^2Q}{dt^2} + 2\beta \frac{dQ}{dt} + \omega_0^2 Q = F_0 \cos(\omega t)$

Где:

• $F_0$ - амплитуда внешней силы,

• $\omega$ - частота внешней силы,

• $\alpha$ - сдвиг фаз между ( Q ) и внешней ЭДС.

1. Полное сопротивление цепи:

   Полное сопротивление цепи ( Z ) определяется как сумма сопротивления ( $R$ ) и реактивного сопротивления ($X_L$ ) и ( $X_C$), выраженных через угловую частоту ( $\omega$ ), индуктивность ($L$ ) и емкость ( C ):

   $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$

   где ($X_L = \omega L$) - индуктивное сопротивление, ($X_C = \frac{1}{\omega C}$) - емкостное сопротивление.

2. Решение дифференциального уравнения затухающих колебаний:

   Решение дифференциального уравнения затухающих колебаний задается выражением:

   $Q(t) = Q_m e^{-\beta t} \cos(\omega_d t + \phi)$

   где ( $Q_m$) - амплитуда заряда, ( $\beta$ ) - коэффициент затухания, ($\omega_d$) - частота затухающих колебаний, ($\phi$ ) - начальная фаза.

3. Фазовые соотношения:

   Фаза тока и фаза напряжения в контуре связаны через угол сдвига ($\phi$):

   $\phi = \arctan\left(\frac{X_L - X_C}{R}\right)$

   где ($X_L$ ) - индуктивное сопротивление, ($X_C$ ) - емкостное сопротивление, ( $R$ ) - активное сопротивление.

4. Резонансная частота:

   Резонансная частота ( $\omega_r$) для заряда ($Q$ ) и напряжения ( $U_C$) задается формулой:

   $\omega_r = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

   где ( L ) - индуктивность, ( C ) - емкость.

5. Коэффициент затухания ( \beta ):

   Коэффициент затухания ($\beta$) характеризует затухание колебаний в контуре и определяется как:

   $\beta = \frac{R}{2L}$

   где ( $R$ ) - активное сопротивление, $( L )$ - индуктивность.

6. Резонанс:

   Резонанс для тока возникает при равенстве резонансной частоты $\omega_r$ и угловой частоты$( \omega )$.

Резонанс напряжений:

При резонансе напряжений в цепи с активным сопротивлением ( R ) падение напряжения на активном сопротивлении равно внешнему напряжению ( U ), а падение напряжения на конденсаторе ( U_C ) и катушке индуктивности ( U_L ) одинаковы по амплитуде и противоположны по фазе. Это явление называется резонансом напряжений или последовательным резонансом.

Использование резонанса напряжений:

Резонанс напряжений используется в технике для усиления колебания напряжения определенной частоты, как например, в радиоприемниках. Также это явление необходимо учитывать при расчете изоляции электрических цепей для предотвращения их пробоя.

Резонанс токов:

В цепях переменного тока, содержащих параллельно включенные конденсатор и катушку индуктивности, резонанс токов наблюдается при приближении частоты приложенного напряжения к резонансной частоте. При резонансе токи в ветвях противоположны по фазе, и их сумма во внешней цепи равна нулю.

При резонансе токов:

При активном сопротивлении ( R ) разность фаз токов не равна ( \pi ), и амплитуда силы тока имеет наименьшее значение. Токи через конденсатор ( I_C ) и катушку индуктивности ( I_L ) компенсируются, а сила тока в подводящих проводах минимальна.

Среднее значение мощности:

Среднее значение мощности в цепи переменного тока равно произведению среднего значения напряжения и среднего значения тока. Для периодических процессов среднее значение мощности можно определить по формуле: [ P_{\text{ср}} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} p(t) dt ] где ( T ) - период колебаний, а ( p(t) ) - мгновенная мощность.

Коэффициент мощности:

Коэффициент мощности определяется как отношение действующего значения активной мощности к действующему значению полной мощности. Высокий коэффициент мощности важен для эффективной передачи энергии.

Вывод:

Резонансные явления в электрических цепях играют важную роль в технике и требуют особого внимания при проектировании и эксплуатации электрических устройств.