07.02.2024 / Идеальный и реальным газ

14 февраля - контрольная работа

Идеальный и реальным газ

Распределение Максвелла

Вероятность того, что молекула имеет скорость в интервале от $v$ до $v + dv$, обозначаемая как $F(v) , dv$, определяется как функция $F(v) = AN \cdot e^{-\frac{m v^2}{2 kT}}$, где:

• $A$ - нормализующая константа,

• $N$ - число молекул,

• $m$ - масса молекулы,

• $k$ - постоянная Больцмана,

• $T$ - температура.

Функция $F(v)$ показывает относительное число молекул, приходящихся на единичный интервал скоростей, и называется функцией распределения молекул газа по скоростям.

Формула для вероятности $F(v) , dv$ представляется как:

$F(v) , dv = \frac{4\pi}{\sqrt{\pi}} \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2} v^2 e^{-\frac{m v^2}{2 kT}} , dv$

Скорость, соответствующая максимуму функции распределения и обозначаемая как $v_{\text{наиб.вероятн.}}$, называется средней наиболее вероятной скоростью.

Большинство молекул имеют скорости, лежащие вблизи $v_{\text{наиб.вероятн.}}$.

Распределение Максвелла описывает вероятность того, что молекула газа имеет скорость в интервале от $v$ до $v + dv$. Функция $F(v)$, представляющая относительное число молекул, находящихся в данном интервале скоростей, называется функцией распределения молекул по скоростям.

Формула распределения Максвелла выглядит следующим образом:

$F(v) = \left( \frac{{2K}}{{\pi}} \right)^{\frac{{3}}{{2}}} \cdot \frac{{v^2}}{{v_0^3}} \cdot e^{-\frac{{v^2}}{{v_0^2}}}$

где $K$ - постоянная Больцмана, $T$ - температура, $v$ - скорость молекулы, а $v_0$ - средняя наивероятнейшая скорость.

Наиболее вероятная скорость соответствует максимуму функции распределения и называется средней наивероятнейшей скоростью.

Большинство молекул обычно имеют скорости, близкие к средней наивероятнейшей.

Температурная зависимость функции распределения скоростей

Температура (T): 250 K - 300 K

Функция распределения скоростей (F(V)): $F(V) = \frac{T}{600}$

При увеличении температуры видно, что максимум функции $F(v)$ смещается вправо и становится ниже. Это означает, что при повышении температуры частицы приобретают большие скорости.

Кроме того, при увеличении массы молекулы максимум функции $4F(v)$ смещается в положительном направлении, так как вероятность приобретения больших скоростей становится выше. Это связано с тем, что $F(v) \propto \sqrt{m}$, где $m$ - масса молекулы.

Напомним, что площадь, ограниченная функцией $F(v)$, остается постоянной и равной единице.

Получена хорошая формула, но масса молекулы неизвестна! Тогда можно записать:

$3kN = \frac{T}{A} \cdot MNA = 3RT$

Мы знаем, что

$P = R \cdot T \cdot \mu$

где (P) - давление, (T) - температура, $\mu$ - плотность. Тогда

$3p \cdot Ve = D$

где (p) - давление, (Ve) - плотность. Эти величины измеряемы.

Например, плотность азота ($N_2$) равна 1.25 кг/м³ при (T = 0°C) и (p = 1) атмосфера, а (Ve = 500) м/с. Для водорода $Ve = 2000$ м/с.

Интересно отметить, что скорости молекул в газе близки к скорости звука в этом газе. Это объясняется тем, что звуковые волны переносятся молекулами газа. Неудивительно, что $Ve \approx 2239$.

Экспериментально впервые скорости молекул были измерены в 1920 году Штерном. За этот опыт и его значительный вклад в развитие молекулярной физики он был удостоен Нобелевской премии в 1943 году.

В ходе этого эксперимента были измерены не только скорости газовых молекул, но и продемонстрировано, что они имеют значительный разброс по скоростям. Этот разброс обусловлен хаотичным тепловым движением молекул. Уже в XIX веке Максвелл утверждал, что молекулы, взаимодействуя друг с другом в хаотичном порядке, как-то "распределяются" по скоростям, и это происходит вполне определённым образом.

В контексте вероятности события важным является понятие распределения молекул газа по скоростям. Это имеет прямое отношение к пониманию вероятности в физике.

Математическое определение вероятности

Вероятность события определяется как предел, к которому стремится отношение числа случаев, приводящих к осуществлению этого события, к общему числу случаев, при условии бесконечного увеличения последнего. Математически это выражается как:

$P = \lim_{n \to \infty} \frac{n'}{p}$

Где $n'$ - число раз, когда событие произошло, а ( p ) - общее число опытов. Это определение позволяет нам понять, что вероятность ( P ) может принимать значения от нуля до единицы $( 0 \leq P \leq 1 )$.

Также, согласно определению Лапласа, вероятность выражается как отношение числа благоприятных случаев к числу возможных случаев.

Определение распределения молекул по скоростям не означает определение количества молекул с определенной скоростью. Фактически, количество молекул, имеющих определенную скорость, стремится к нулю (постарайтесь понять это). Правильный вопрос звучит так: "Сколько молекул имеют скорость, находящуюся в заданном интервале, включающем данную скорость?" Именно так формулируются статистические задачи.

Например, когда указывается возраст (например, 20 лет) на переписи населения, это не означает точный возраст в годах. Это указывает на то, что возраст находится в диапазоне от 20 до 21 года, как с часами и минутами.

Молекулы вещества постоянно находятся в движении, перемещаясь хаотично. Среди них встречаются как очень быстрые, так и очень медленные. В результате их случайных столкновений происходит распределение молекул по скоростям.

Это распределение, хоть и возникает из-за хаотического движения молекул, но оказывается строго определённым и единственно возможным.

Нам интересно найти количество частиц $N$, скорости которых находятся в определённом диапазоне (от v до v + dv). Здесь N представляет собой число благоприятных молекул.

Очевидно, что в единичном объёме количество таких благоприятных молекул будет тем больше, чем больше dv.

Также понятно, что N должно быть пропорционально концентрации молекул $ρ$. Концентрация в свою очередь зависит от самой

Скорости молекул в различных интервалах могут различаться по числу, даже если интервалы одинаковы по размеру, абсолютные значения скоростей разные. Это можно сравнить с различием в числе людей в возрасте от 20 до 21 года и от 90 до 91 года.

Итак, формула для изменения числа молекул в интервале скоростей выглядит следующим образом:

$\Delta n = n f(v) \Delta v$

Или в пределе:

$dn = nf(v)dv$

Здесь $f(v)$ представляет собой функцию распределения.

Основная сложность в вычислении формулы заключается в нахождении самой функции распределения $f(v)$. Физический смысл этой функции таков:

$dn = f(p)$

при $dv = 1$. Таким образом, функция распределения $f(v)$ интерпретируется как вероятность. Таким образом, $f(p)$ показывает вероятность того, что любая молекула газа в единице объема имеет скорость, попадающую в указанный интервал, который включает данную скорость.

Конечно, вот текст с дополнительными пояснениями:

Пусть $f(0) = A \cdot e^{\frac{-E}{2kT}}$, где ( A ) - постоянная, определенная в уравнении ( (47) ). Графическое изображение этой функции представлено на Рисунке 2.1. Из графика видно, что доля молекул газа со скоростью ( v = 0 ) не равна нулю. При ( v = 0 ), $f(0) = A$ (это физический смысл постоянной ( A )). Это уравнение описывает распределение молекул газа по ( x )-компонентам скорости. Очевидно, что $dn \cdot ndv = d \mu \cdot ndv$, где ( dn ) - это изменение числа молекул в интервале скорости ( dv ), а $d \mu$ - изменение числа молекул в интервале $d \mu$.

Вероятность того, что скорость молекулы одновременно удовлетворяет трем условиям: ( x )-компонента скорости лежит в интервале от ( x ) до ( x + dx ); ( y )-компонента в интервале от ( y ) до ( y + dy ); ( z )-компонента в интервале от ( z ) до ( z + dz ), будет равна произведению вероятностей каждого из условий (событий) в отдельности. То есть:

$dn_{xyz} = A \cdot e^{\frac{-E}{2kT}} \cdot dx \cdot dy \cdot dz \quad$

Эту формулу можно геометрически интерпретировать следующим образом:

$dn_{xyz}$ - это количество молекул в параллелепипеде с размерами $dx, dy, dz$, то есть в объеме $dV = dx \cdot dy \cdot dz$, расположенном в пространстве скоростей и находящемся на определенном расстоянии от начала координат. Эта величина ( dn ) не зависит от направления вектора скорости. Поэтому мы хотим получить функцию распределения молекул по скоростям независимо от их направления, то есть по абсолютному значению скорости.

При рассмотрении объемного слоя $d\Omega$, где $d\Omega = 4\pi \nu^2 , d\nu$, общее число молекул в этом слое $d\nu$ определяется как $du = n, f(\nu) , d\nu$ при ( 2kT ). Если собрать все молекулы, находящиеся в единице объема с диапазоном скоростей от $\nu$ до $\nu + d\nu$ во всех направлениях и выпустить их, то через одну секунду они окажутся в шаровом слое толщиной $d\nu$ и радиусом $\nu$. Этот шаровой слой состоит из параллелепипедов, описанных выше. $\frac{3}{2} m_0$

Из уравнения выше следует Закон Максвелла - распределение молекул по абсолютным значениям скоростей:

$\frac{dn}{n} = \frac{4}{\sqrt{\pi}} \left( \frac{m}{2k} \right)^{3/2} v^2 e^{-\frac{mv^2}{2kT}} dv$

Это уравнение определяет долю всех молекул единицы объема, скорости которых находятся в интервале от (v) до (v + dv).

Когда (dv = 1), мы получаем плотность вероятности или функцию распределения молекул по скоростям:

$\frac{dn}{n} = \frac{4}{\sqrt{\pi}} \left( \frac{m}{2kT} \right)^{3/2} e^{-\frac{v^2}{2kT}} dv$

Эта функция представляет собой долю молекул единицы объема газа, абсолютные скорости которых находятся в единичном интервале скоростей, равном единице и включающем данную скорость.

Обозначим через $f(0) = Ae^{2k v^2}$

Вид физического распределения для каждого газа зависит от его типа ( $т$ ) и параметра состояния ($Т$). Давление ( $р$ ) и объем газа не влияют на распределение молекул.

В показателе степени ( e ) стоит отношение кинетической энергии, соответствующей данной скорости, к $kT$ - средней кинетической энергии молекул при данной температуре. Это значит, что распределение Максвелла характеризует распределение молекул по значениям кинетической энергии (то есть показывает вероятность при данной температуре иметь именно такое значение кинетической энергии).

Наиболее вероятная, среднеквадратичная и средняя арифметическая скорости молекул газа определяются следующим образом:

Наиболее вероятная скорость соответствует максимуму распределения и равна $\sqrt{\frac{2kT}{m}}$ для одной молекулы и $\sqrt{\frac{2RT}{M}}$ для одного моля газа.

Среднеквадратичную скорость можно найти, используя соотношение $\sqrt{\frac{3kT}{m}}$.

Таким образом, для одной молекулы $\sqrt{\frac{2kT}{m}}$, а для одного моля газа $\sqrt{\frac{2RT}{M}}$.

Изменение $f(v)$ при изменении температуры $( T )$ или массы ($m$) при постоянной температуре ($T = const$) или постоянной массе ($m = const$) можно отследить следующим образом:

1. При изменении температуры (( T )) при постоянной массе (( m )): Если температура увеличивается $( T_1 > T_2 > T_3 )$, пик кривой распределения $f(v)$ смещается вправо. Это связано с тем, что при увеличении температуры увеличивается средняя кинетическая энергия молекул, что приводит к увеличению их средней скорости.

2. При изменении массы $( m )$ при постоянной температуре $( T )$: Если масса увеличивается $( m_1 > m_2 > m_3 )$, пик кривой распределения $f(v)$ смещается влево. Это связано с тем, что более тяжелые молекулы имеют меньшую среднюю скорость при одинаковой температуре.

Максвелловский закон распределения по скоростям и все вытекающие из него следствия справедливы только для газа в равновесной системе. Закон статически выполняется тем лучше, чем больше число молекул.

Формула Максвелла для относительных скоростей позволяет решать многие задачи. Относительная скорость - это скорость, выраженная в относительных единицах.

1. При условии ( 2kT ), уравнение принимает вид:

$dn = \frac{4}{\sqrt{\pi}} V_m \cdot ndv$

где $V_m$ - объем газа, а $ndv$ - изменение числа молекул в интервале скорости $dv$. Это уравнение является универсальным, поскольку функция распределения не зависит ни от вида газа, ни от температуры.

2.4. Барометрическая формула.

Рассмотрим ещё один важный закон.

Атмосферное давление на определенной высоте обусловлено весом газа, находящегося выше этой высоты. Пусть ( p ) - давление на высоте ( h ), $p + \Delta p$ - давление на высоте $h + \Delta h$, где $\Delta h > 0$, $\Delta p < 0$, поскольку давление убывает с увеличением высоты. Разность давлений $p - (p+\Delta p)$ равна весу газа, находящегося в цилиндре с площадью основания ( 1 ) и высотой $\Delta h$. Таким образом, $p = \rho gh$, где $\rho$ медленно убывает с увеличением высоты.

При условии $2kT$, уравнение принимает вид:

$dn = \frac{4}{\sqrt{\pi}} V_m \cdot ndv$

где $V_m$ - объем газа, а $ndv$ - изменение числа молекул в интервале скорости $dv$. Это уравнение является универсальным, поскольку функция распределения не зависит ни от вида газа, ни от температуры.

2.4. Барометрическая формула.

Рассмотрим ещё один важный закон.

Атмосферное давление на определенной высоте обусловлено весом газа, находящегося выше этой высоты. Пусть $p$ - давление на высоте $h$, $p + \Delta p$ - давление на высоте $h + \Delta h$, где $\Delta h > 0$, $\Delta p < 0$, поскольку давление убывает с увеличением высоты. Разность давлений $p - (p+\Delta p)$ равна весу газа, находящегося в цилиндре с площадью основания ( 1 ) и высотой $\Delta h$. Таким образом, $p = \rho gh$, где $\rho$ медленно убывает с увеличением высоты.

10.5. Число столкновений и длина свободного пробега молекул в газах.

Пусть $\lambda$ - длина свободного пробега молекулы; $\bar{\lambda}$ - средняя длина свободного пробега. Именно эта величина нас интересует.

Модель газа представляет собой твёрдые шарики одного диаметра, взаимодействующие только при столкновении.

Обозначим $S$ - эффективное сечение молекулы.

1. Площадь $8 - \frac{F}{4}$ представляет собой область, в которую ни одна другая молекула не может проникнуть вокруг центра данной молекулы. За одну секунду молекула проходит расстояние, равное средней арифметической скорости ( v ). За ту же секунду молекула сталкивается ( n ) раз. Следовательно, $n(0) = \frac{8 - \frac{F}{4}}{\pi r^2}$.

2. Подставим число столкновений ( n ) в уравнение.

3. Предположим, что все молекулы застыли, кроме одной. Траектория этой молекулы будет линией. Столкновения происходят только с молекулами, центры которых находятся внутри цилиндра радиусом ( r ).

Скорость частицы вдоль оси цилиндра за одну секунду равна ( v = \omega ); умножив объем ( V ) на число молекул в единице объема ( n ), получим среднее число столкновений в одну секунду: $\nu = \pi \alpha^2 \eta$.

Согласно закону сложения случайных величин:$\sqrt{0^2 + 0^2} = \sqrt{2} \cdot 0 = 0 \sqrt{2}$. Так как $\langle 2 \rangle = 10$, то получим $1 \cdot \langle 1 \rangle = \sqrt{2} \langle n \rangle$.

Поскольку $p = p_T$, то $\langle 2 \rangle = \frac{1}{n} P T_0 kT = \sqrt{2} m^2 p$, следовательно $P = \frac{\sqrt{2} m^2 p}{kT}$.

Здесь можно заметить, что с учетом введения нами ранее эффективного сечения молекулы $\sigma$:

$kT \langle 2 \rangle = \sqrt{2} \cdot 5 P$.

Переносные явления в газах обычно рассматриваются через призму диффузии и теплопроводности. Диффузия представляет собой распространение молекул примесей в газовой среде от источника. Основные механизмы и закономерности диффузии и теплопроводности легче всего понять, обращая внимание на переносные явления в газах.

1. Диффузия: Диффузия определяется законом Фика, который гласит, что поток вещества пропорционален градиенту его концентрации в среде. Математически это выражается как $N_1 = -D \frac{dC}{dx}$, где $( N_1 )$ - поток вещества, ( D ) - коэффициент диффузии, $( dC/dx )$ - градиент концентрации вещества по координате ( x ).

2. Вязкость газа: В газе между двумя соседними слоями, движущимися с различными скоростями, действует сила вязкого трения. Эта сила определяется законом Ньютона для жидкостей и газов. Математически это выражается как $\tau = -\eta \frac{du}{dz}$, где $\tau$ - напряжение вязкости, $\eta$ - динамическая вязкость газа, $du/dz$ - градиент скорости по направлению оси ( z ).

Если в соседних слоях газа существует разница в температуре, то между ними происходит перенос тепла. Это происходит за счет хаотического движения молекул, которые перемешиваются между собой, выравнивая свои средние энергии.

Такой процесс переноса энергии от более нагретых областей к более холодным называется теплопроводностью. Он описывается законом Фурье, который связывает поток тепла $dT/dx$ с градиентом температуры $dT$ и коэффициентом теплопроводности $S$ через формулу:

$\frac{dT}{dx} = S$

Теплопроводность подобна другим процессам переноса, таким как диффузия вещества и внутреннее трение, поскольку все они основаны на хаотическом движении молекул. Это общее свойство механизма переноса обуславливает сходство их закономерностей.

Диффузия газов описывает процесс распределения молекул примеси в газовой среде от источника. Рассмотрим одномерную задачу. Пусть в газовой среде присутствует примесь с начальной концентрацией $X_0$, и пусть ( n ) будет концентрацией примеси в точке ( x ) в момент времени ( t ). Тогда изменение концентрации примеси вдоль координаты ( x ) будет определяться уравнением диффузии:

$\frac{dn}{dx} = 0$

где $\frac{dn}{dx}$ - это градиент концентрации примеси по координате ( x ).

При наличии градиента концентрации $\nabla c$, движение частиц становится более организованным, стремясь выравнивать концентрацию, что приводит к образованию потока частиц примеси от участков с более высокой концентрацией к участкам с более низкой. Давайте рассмотрим этот поток. Предположим, что в плоскости с координатой (x) находится единичная площадка, перпендикулярная оси (x). Давайте вычислим количество молекул, проходящих через эту площадку в направлении слева направо $(N)$ и справа налево $(M)$ за определенный промежуток времени.

$N = N - N + NS \cdot L$

Когда молекулы пролетают через поверхность ( S ), они претерпевают последнее столкновение на разных расстояниях от ( S ). В среднем же последнее столкновение происходит на расстоянии от ( S ), равном средней длине свободного пробега. Поэтому разумно принять значение ( (x-2) ) для концентрации молекул слева от площади ( S ), а $(x+2)$ для концентрации молекул справа от ( S ). Тогда, с учетом уравнений

$N = vS[m(x-2)-n(x+2)] \qquad (10.6.2) ] [ dr = ((x-2)-n(x+2)) , de \qquad$

Поскольку разность значений функций ( l(x) ) очень мала, то можно ее представить в виде:

$dr = ((x-2)-n(x+2)) , de$

Подставив это выражение в уравнение, мы получаем:

$\frac{dn}{dr} = \frac{02}{dr}$

Сравнение данного выражения с формулой показывает, что исходя из молекулярно-кинетических представлений, мы не только приходим к правильной зависимости $M_1$ от $\frac{dn_2}{dr}$, но также получаем выражение для коэффициента диффузии $D$:

$D = \frac{02}{r}$

Более строгий расчет приводит к той же формуле, но с немного отличающимся числовым коэффициентом.

Уравнение Фика описывает поток вещества через среду в зависимости от градиента концентрации этого вещества. В одномерном случае оно записывается как:

$N = -D \frac{dS}{dx}$

где ( N ) - поток вещества, ( D ) - коэффициент диффузии, ( S ) - концентрация вещества, ( x ) - координата.

В трехмерном случае данное уравнение принимает вид:

$\mathbf{N} = -D \nabla nS$

где $\mathbf{N}$ - вектор потока вещества, $\nabla$ - оператор градиента, $n$ - единичный вектор в направлении уменьшения концентрации.

Это уравнение устанавливает, что поток вещества пропорционален градиенту концентрации, с коэффициентом пропорциональности $D$.

Численно, поток вещества через единичную площадь в единицу времени при градиенте концентрации равном единице, можно записать как:

$N = D$

Это означает, что если градиент концентрации равен единице, то поток вещества будет равен коэффициенту диффузии.

Внутреннее трение и вязкость газов обусловлены тепловым движением молекул. В слое газа каждая молекула обладает средним импульсом, определяемым ее дрейфовой скоростью. Поскольку молекулы непрерывно перемещаются из одного слоя в другой из-за теплового движения, они переносят с собой дополнительный импульс, влияя на слой, в который они перемещаются. В результате перемешивания молекул между слоями происходит выравнивание их дрейфовых скоростей, что на макроскопическом уровне проявляется как сила трения между слоями.

Давайте рассмотрим элементарную площадку ( dS ), которая перпендикулярна оси ( x ). Через эту площадку за время ( dt ) происходит перенос потока молекул как влево, так и вправо. Исходя из уравнения (10.7.1), мы можем записать, что поток ( N ) через площадку ( S ) в единицу времени равен $N = \frac{K}{6}$, где $K = N (\mu_1 - \mu_2)$ (где $\mu$ - масса молекулы).

Подставляя уравнение (10.7.1) для ( M ), мы получаем выражение для ( K ) как $K = n_0 S (\mu_1 - \mu_2)$ (10.7.2), где ( n_0 ) - концентрация молекул.

Учитывая функции $u = u(z - k)$ и ( u_2 = u(z + k) ), подставим их в уравнение (10.7.2), чтобы получить выражение для потока импульса в направлении оси ( z ):

$K_z = \frac{1}{6} n_0 S (\mu_1 - \mu_2)$

Это уравнение (10.7.3) описывает поток импульса вдоль оси ( z ).

Принимая во внимание, что произведение плотности газа на его температурную величину (поток тепла) равно кинетической энергии, мы можем записать уравнение в виде: $K = \frac{1}{\lambda \rho} \frac{{du}}{{dz}}$ Сравнение этого выражения с уравнением (10.4.2) позволяет нам выразить коэффициент вязкости: $\eta = \frac{1}{\rho}$ Это уравнение известно как уравнение Ньютона, где ( D ) обозначает коэффициент диффузии, а $\rho$ - плотность. Физический смысл этого уравнения заключается в том, что оно численно равно импульсу, переносимому через единичную площадь за единицу времени при градиенте скорости, равном единице $grad ( S )$.

Теплопроводность газов может быть объяснена следующим образом. Рассмотрим газ, находящийся между двумя параллельными стенками с разной температурой (см. Рис. 10.14). Имея градиент температуры $\frac{dT}{dx}$, мы наблюдаем поток тепла через газ в направлении оси ( x ). В результате хаотичного движения молекул они переходят из одного слоя газа в другой, перенося с собой энергию. Это перемещение молекул приводит к перемешиванию молекул с различными значениями кинетической энергии.

W = MKT 2 2 При подсчёте потока тепла введём следующие упрощения:

1. () const (средне арифметическая скорость).

2. Примем, что концентрация молекул в соседних слоях тоже одинакова, (хотя на самом деле она различается. Это упрощение даёт ошибку = 10%). Снова вернёмся к рисунку: через площадку 5 за единицу времени проходит молекул. Средняя энергия этих N=(UnS 6 молекул и соответствует значению энергии в том месте, где они испытывают последнее регусьтирующее столкновение. Для одной молекулы газа WKT 2 соответствующую температуре в том месте, где произошло ее последнее соударение с другой молекулой.

В соответствии с уравнением потока тепла через площадку, его можно представить в виде:

$Q = N(W_1 - W_2)$

где (N) определяется формулой (10.8.1). Подставляя значения (N), $W_1$, и $W_2$, получаем:

$Q = kn\frac{dT}{dx}$

где (dT) - это разность температур, (k) - коэффициент теплопроводности.

Разность температур (dT) между двумя плоскостями (1) и (2) равна ((x - 2) - (x + 2) = -4), следовательно $\frac{dT}{dx} = -4$. Тогда уравнение потока тепла примет вид:

$Q = -4kn$

где (n) - это нормаль к поверхности площадки.

Коэффициенты переноса и их зависимость от давления

В процессе изучения переноса вещества и тепла были установлены следующие закономерности:

1. Для диффузии справедливо уравнение Фика: $N = -D \cdot \nabla u$, где ( N ) - поток вещества, ( D ) - коэффициент диффузии, ( u ) - концентрация. Это закон был установлен на основе опытных наблюдений.

2. Для переноса импульса справедливо уравнение Ньютона для трения: $K = -\mu \cdot \nabla u$, где ( K ) - поток импульса, $\mu$ - коэффициент вязкости. Этот закон также определен опытным путем.

3. Для теплопроводности справедливо уравнение Фурье: $Q = -\lambda \cdot \nabla u$, где ( Q ) - тепловой поток, $\lambda$ - коэффициент теплопроводности. Этот закон также был установлен экспериментально.

Эти законы были установлены задолго до появления молекулярно-кинетической теории. Однако молекулярно-кинетическая теория позволила понять, что в основе этих законов лежит молекулярный механизм перемешивания частиц вещества в процессе их теплового движения. Несмотря на успешное объяснение этих законов, молекулярно-кинетической теории не хватало твердой теоретической основы к концу XIX века.

Коэффициент диффузии (D) определяется как отношение величины потока вещества к его градиенту концентрации. Математически это выражается как:

$D = \frac{\Phi}{\nabla c}$

где ( \Phi ) - поток вещества, $\nabla c$ - градиент концентрации.

Коэффициент вязкости (η) связан с вязкостью жидкости и скоростью деформации через закон Ньютона. Он определяется как:

$\eta = \frac{F}{A} \cdot \frac{1}{\frac{dV}{dt}}$

где ( F ) - сила, ( A ) - площадь, $\frac{dV}{dt}$ - скорость деформации.

Коэффициент теплопроводности (λ) описывает способность материала передавать тепло. Он связан с плотностью (ρ) и теплоемкостью (c) через формулу:

$\lambda = D \cdot \rho \cdot c$

где ( D ) - коэффициент диффузии, $\rho$ - плотность.

Исходя из этих формул, можно сделать ряд важных выводов о свойствах материалов и процессах диффузии, вязкости и теплопроводности.

Уравнение состояния идеального газа описывает связь между давлением (P), объемом (V) и температурой (T) для заданного количества газа. Для объема газа (V), давления (P) и температуры (T), обозначенных соответственно через ( V ), ( P ) и ( T ), мы можем использовать следующее уравнение:

$PV = NkT$

Где:

• ( P ) - давление газа

• ( V ) - объем газа

• ( N ) - количество молекул в газе

• ( k ) - постоянная Больцмана

• ( T ) - температура в кельвинах

Обратите внимание, что ( N ) можно также выразить как $N = \frac{M}{m}$, где ( M ) - масса газа, а ( m ) - масса одной молекулы.

Законы Бойля-Мариотта и Гей-Люссака также относятся к идеальному газу. По закону Бойля-Мариотта ( PV ) пропорционально температуре при постоянном количестве газа и абсолютном давлении. По закону Гей-Люссака $\frac{V}{T}$ остается постоянным при постоянном количестве газа и постоянном давлении.

Таким образом, идеальный газ характеризуется соблюдением уравнения состояния идеального газа ( PV = NkT ), а также законов Бойля-Мариотта и Гей-Люссака.

При заданных значениях давления (P) и температуры (T) для идеального газа, где V - объем, N - количество молекул и к - коэффициент пропорциональности, можно использовать уравнение состояния:

$PV = NkT$

Где:

• P - давление газа,

• V - объем газа,

• N - количество молекул газа,

• k - постоянная Больцмана (примерное значение $1.38 \times 10^{-23}) Дж/К$,

• T - абсолютная температура газа.

Также, используя уравнение идеального газа (уравнение Клапейрона-Менделеева), можно записать:

$PV = NkT = RT$

Где:

• R - универсальная газовая постоянная,

• μ - молярная масса газа.

Таким образом, уравнение состояния идеального газа:

$PV = RT$

Можно выразить количество молекул газа через объем и температуру:

$N = \frac{PV}{kT}$

Или через количество вещества (n) и температуру:

$P = \frac{n k T}{V}$

Это позволяет понять, что давление газа пропорционально количеству молекул в единице объема и температуре газа.

Сравним уравнение состояния идеального газа ( pV = NkT ) с основным уравнением кинетической теории газов:

$pV = \frac{N}{3} m \langle v^2 \rangle$

где ( m ) - масса одной молекулы, $\langle v^2 \rangle$ - средняя квадратичная скорость молекул, а ( N ) - общее количество молекул газа. Выражение $\langle v^2 \rangle$ зависит от температуры газа, и для идеального газа оно связано с температурой следующим образом:

$\langle v^2 \rangle = \frac{3kT}{m}$

где ( k ) - постоянная Больцмана, ( T ) - температура в кельвинах, а ( m ) - масса одной молекулы. Таким образом, для одной молекулы:

$m = \frac{No}{N}$

где ( No ) - общее количество молекул, а ( N ) - число молекул в данном объеме газа.

Переход идеального газа из неравновесных состояний в равновесное происходит за счёт трёх основных явлений переноса: диффузии, теплопроводности и внутреннего трения.

Данные явления обеспечивают непрерывное выравнивание плотности, давления и температуры внутри объёма газа. Этот процесс происходит как при наличии внешнего воздействия на газ, так и при его отсутствии.

Средняя длина свободного пробега молекул, обозначаемая как $\lambda$, представляет собой среднее расстояние, которое молекула преодолевает между двумя последовательными столкновениями. Оно вычисляется по формуле:

$\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} n \pi d^2}$

Где ( n ) - число молекул в единице объёма, ( d ) - диаметр молекулы.

Эффективный диаметр молекулы ( d ) - это минимальное расстояние, на которое сближаются центры молекул в процессе их столкновения.

Найдем среднее число столкновений, которые одна молекула испытывает в единицу времени. Представим молекулу как сферу диаметром d, движущуюся со средней скоростью $\overline{u}$.

За промежуток времени $\Delta t$, молекула пройдет средний путь $\overline{s}$ и столкнется со всеми молекулами, центры которых находятся внутри объема цилиндра, определяемого скоростью $\overline{u}$ и временем $\Delta t$. Если центр какой-либо молекулы находится на поверхности этого цилиндра или ближе к его оси, то произойдет столкновение с движущейся молекулой; если же центр молекулы находится за пределами указанного цилиндра, то столкновения не произойдет.

Число столкновений, которые молекула испытывает за время $\Delta t$, будет равно числу молекул в объеме $\overline{u} \Delta t$. Однако точный расчет с учетом относительного движения всех молекул газа дает поправочный множитель 2.

Количество столкновений в единицу времени (N) можно определить как произведение плотности частиц (p), тепловой скорости (V) и площади поперечного сечения (A):

$N = p \cdot V \cdot A$

Для газов можно выразить плотность (p) через уравнение состояния:

$p = \frac{P}{RT}$

Где P - давление газа, R - универсальная газовая постоянная, T - температура. Тепловая скорость (V) для идеального газа определяется как:

$V = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$

Где k - постоянная Больцмана, T - абсолютная температура, m - масса молекулы газа.

Длина свободного пробега (λ) определяется как среднее расстояние, пройденное молекулой между столкновениями:

$λ = \frac{V}{N}$

Часто используемый для газов диапазон длины свободного пробега находится в пределах от (10^{-7}) до (10^{-1}) метров.

Вакуум - это состояние разреженного газа, при котором длина свободного пробега молекул приблизительно равна размерам сосуда, в котором находится газ.

Каждый объем содержит ( n ) молекул.

В направлении площадки ( S ) перемещается $\frac{1}{6} (n - S)$ молекул слева и столько же справа. Поскольку объем находится на расстоянии $\delta$ от ( S ), все молекулы достигнут площадки ( S ) без столкновений.

Каждая молекула способна переносить некоторую величину ( Z ) (массу, импульс, кинетическую энергию), и все молекулы переносят $\frac{1}{6} (n - S) Z$ или $\frac{1}{6} S Z_H$, где $Z_H = n Z$ - физическая величина, переносимая молекулами, заключенными в единичном объеме. В результате через площадку ( S ) из объемов 1 и 2 за промежуток времени $\Delta t$ переносится величина:

$\frac{1}{6} S \cdot I \cdot (H_1 - H_2)$

Чтобы определить время $\Delta t$, предположим, что все молекулы движутся с одинаковыми средними скоростями $\langle v \rangle$. Тогда молекулы из объемов 1 или 2 пересекают площадку в течение времени $\Delta t = \frac{\delta}{\langle v \rangle}$.

Таким образом, скорость переноса величины 1 SI(H-H₂) через единицу времени равна

$\frac{1}{6} \Delta \tau = \frac{1}{6}$

Изменение величины ( H ) на единице длины ( dx ) $( \frac{dH}{dx} )$ называется градиентом величины ( H ). Так как ( (H - H₂) ) представляет собой изменение величины ( H ) на расстоянии 2, тогда

$\frac{dH}{dx} (H - H₂) = 2(2)$

или

$(H - H₂) = 2(2) \frac{dH}{dx}$

Подставляя полученные выражения в уравнение (1) и умножая на 1, получаем поток ( G ) переносимой величины ( H ) за промежуток $\tau$ через площадку ( S ).

$G = \frac{1}{6}(0)(2)HS-Ar$

Общее уравнение переноса имеет вид:

$223V$

Диффузия является процессом перемещения физической величины ( H ), переносимой молекулами, через единичный объем с плотностью ( r ). Общее уравнение переноса задается как:

[ G = \int_{0}^{2} H S_A , dx ]

Где ( S_A ) - площадь поперечного сечения, ( dx ) - элементарный интервал длины. Это уравнение описывает перенос величины ( H ) вдоль оси ( x ).

Закон Фика формулируется как:

[ Z = mD ]

Где ( Z ) - поток вещества, ( m ) - концентрационный градиент, а ( D ) - коэффициент диффузии, который определяет скорость диффузии вещества.

Частным случаем диффузии является самодиффузия, которая описывает выравнивание концентрации частиц вещества с однородным составом.

Внутреннее трение является результатом взаимодействия молекул внутри вещества. Это происходит из-за неравномерности движения молекул. Вещество имеет некоторое количество потенциальной энергии (U), связанной с его структурой. Под воздействием внешней силы (F), эта энергия изменяется (Z), что вызывает изменение импульса (G-F-Δt).

Неравномерное распределение энергии и импульса в веществе обусловлено направленным движением молекул. Молекулы перемещаются хаотически, за исключением движения вдоль определенной оси (y). Это движение передает импульс от слоя к слою в направлении оси y, что и приводит к проявлению внутреннего трения.

Математически, коэффициент внутреннего трения (вязкости) обычно обозначается как η. Сила внутреннего трения (F) может быть выражена через градиент скорости (dv/dx), умноженный на этот коэффициент и площадь поверхности (S), с которой взаимодействует вещество. Таким образом, формула силы внутреннего трения выглядит следующим образом:

[ F = \eta \frac{dv}{dx} S ]

где:

• ( F ) - сила внутреннего трения,

• ( \eta ) - коэффициент внутреннего трения (вязкости),

• ( \frac{dv}{dx} ) - градиент скорости,

• ( S ) - площадь поверхности.

Это позволяет лучше понять и описать внутреннее трение в веществе без упоминания конкретных рисунков.

Внутреннее трение является результатом взаимодействия молекул вещества друг с другом внутри среды. Это влияние можно описать через импульс силы, возникающий за счёт хаотического движения молекул.

Мы можем выразить импульс силы ( G-F-A_1 ) следующим образом:

$G-F-A_1 = X \cdot Z = m \cdot U_s$

Где:

• ( X ) представляет собой какое-то действие;

• ( Z ) обозначает изменение какой-то величины;

• ( m ) - масса;

• ( U_s ) - скорость.

Импульс обусловленный направленным движением молекул (( Н_r-и-импульс )) описывается через компоненту вдоль оси ( y ), где молекулы газа передают импульс в направлении оси ( -y ). Это движение молекул и передача импульса приводят к явлению внутреннего трения.

Сила внутреннего трения (( F-A )) может быть выражена через производную энергии ( U ) по координате ( x ):

$F-A = \frac{d(pU_{S-A})}{dx}$

Где:

• ( p ) - давление;

• ( U_{S-A} ) - потенциальная энергия молекулы;

• ( dx ) - изменение координаты.

Также можно выразить силу внутреннего трения через производную энергии ( U ) по координате ( x ) и ( S ):

$F = \frac{d(0) \cdot (2) \cdot pU_S}{dx \cdot dx \cdot S}$

Где:

• ( S ) - площадь.

Коэффициент внутреннего трения (вязкости) ( \eta ) связан с силой внутреннего трения следующим образом:

$1 = 7 = \frac{(0) \cdot (2) \cdot P}{\eta}$

Где:

• ( P ) - давление.

Такие формулы позволяют описать внутреннее трение в среде более понятным и систематическим способом.

Теплопроводность газов, согласно молекулярно-кинетической теории, описывает процесс направленной передачи кинетической энергии при соударениях молекул.

Уравнение теплопроводности выражается следующим образом:

$k = \frac{1}{3} C v \bar{v}$

Где:

• ( k ) - коэффициент теплопроводности,

• ( C ) - специфическая теплоемкость при постоянном объеме,

• ( v ) - средняя скорость молекул газа,

• ( \bar{v} ) - среднеквадратичная скорость молекул газа.

Это уравнение показывает, что коэффициент теплопроводности пропорционален средней квадратичной скорости молекул газа.

Опытным путем было получено уравнение Фурье для теплопроводности:

$$Q = -k \frac{dT}{dx}$$

Где:

• ( Q ) - плотность потока тепла,

• ( k ) - коэффициент теплопроводности,

• ( \frac{dT}{dx} ) - градиент температуры по направлению теплового потока.

Сравнивая уравнение Фурье с уравнением переноса, мы можем выразить коэффициент теплопроводности ( k ):

$$k = \frac{2}{3} C_V P S \Lambda$$

Где:

• ( C_V ) - удельная теплоёмкость при постоянном объеме,

• ( P ) - давление,

• ( S ) - поперечное сечение,

• ( \Lambda ) - средняя длина свободного пробега частиц,

• ( \left< u \right> ) - средняя скорость частиц,

• ( D ) - коэффициент диффузии,

• ( R ) - универсальная газовая постоянная,

• ( T ) - температура.

Зависимость внутреннего трения и теплопроводности ( \Lambda ) от давления ( P ) имеет свои особенности.

При уменьшении давления в системе, которая содержит смесь газов, плотность смеси уменьшается, в то время как длина свободного пробега остается постоянной. При этом коэффициент вязкости не изменяется с концентрацией газов и давлением. Это явление подтверждается законом состояния газов, таким как уравнение Ван-дер-Ваальса:

$P = \frac{nRT}{V - nb} - \frac{an^2}{V^2}$

Здесь (P) обозначает давление, (n) - количество вещества, (R) - универсальная газовая постоянная, (T) - абсолютная температура, (V) - объем, (a) и (b) - коэффициенты Ван-дер-Ваальса.

Внутреннее трение и теплопроводность газов изменяются в соответствии с изменением условий, однако, коэффициент вязкости остается постоянным.

Сосуды Дьюара, изначально представленные Джеймсом Дьюаром в 1881 году, идеально подходят для хранения сжиженных газов благодаря их специальной конструкции, включающей двойные стенки с вакуумным пространством между ними. Это позволяет минимизировать теплопередачу и сохранять низкие температуры длительное время.

Первые коммерческие сосуды Дьюара были произведены в 1904 году, когда немецкая компания "Термос" была основана. Патент на двойную стенку с пространством для вакуума между ними был выдан в США в 1906 году Бургеру.

Итак, сосуды Дьюара, благодаря своим уникальным характеристикам, остаются важным средством для хранения и транспортировки сжиженных газов и криогенных жидкостей.

Измерения показывают, что уравнение состояния идеального газа, включая уравнение равновесного состояния:

$PV = MRT$

может быть применимо и к реальным газам, особенно при небольших давлениях и высоких температурах. Однако при более высоких давлениях и более низких температурах наблюдаются отклонения. Например, для азота при температуре 0°С, произведение (PV) отличается от (M/μRT) в пределах давлений от 1 до 100 атм не более, чем на 0,5%, в то время как для давлений, приближающихся к 1000 атм, это отличие может достигать 100%.

Такие расхождения в основном объясняются влиянием молекулярных сил.

Идеальный газ представляет собой модель, в которой количество газа, заполняющего данный объем сосуда при определенной температуре, не ограничено. Однако реальные газы, в отличие от идеального газа, проявляют наибольшее расхождение в своем поведении при образовании паров.

Когда газ переходит в паровую фазу при определенной температуре в закрытом сосуде, и достигается предельное количество испарившегося вещества, говорят о наличии насыщенного пара в сосуде.

Кривая насыщения $p = p(T)$ заканчивается в критической точке, где давление $p$ и температура $T$ достигают критических значений. При температуре выше критического значения насыщенного пара не образуется, и любое количество жидкости, добавленное в сосуд, полностью испарится.

Исследование связи между давлением насыщенных паров и их температурой является важной задачей в термодинамике.

Рассмотрим процесс изотермического сжатия и расширения пара.

1. При сжатии ненасыщенного пара (обозначим этот процесс как а-б) давление увеличивается, но не по закону Бойля-Мариотта (где давление и объем обратно пропорциональны при постоянной температуре). В данном случае давление увеличивается не пропорционально уменьшению объема (при постоянной температуре).

2. При дальнейшем уменьшении объема (процесс 6-в) давление перестает расти, и происходит конденсация пара в жидкость, что означает, что пар становится насыщенным. В этой точке (в) вещество находится в жидком состоянии.

3. При дальнейшем увеличении давления, необходимом для изотермического сжатия (процесс V), происходит постепенное уменьшение внешнего давления на жидкость (при постоянной температуре), в результате чего жидкость немного расширяется.

4. В точке (в) жидкость начинает кипеть, и дальнейшее увеличение объема уже не сопровождается понижением давления, так как освобождающийся объем занимается насыщенным паром.

5. В точке (6) вся жидкость превращается в насыщенный пар. Расширение насыщенного пара ведет к уменьшению его давления, и пар становится более ненасыщенным.

При изотермическом сжатии одного и того же количества пара при повышенной температуре наступает состояние насыщения при меньшем объеме и большем давлении (точка $b'$). При одинаковых значениях температуры и давления (точка $v$), жидкое состояние характеризуется большим объемом. При переходе от точки $v$ к $b'$ уменьшение объема жидкости от повышения давления происходит медленнее, чем увеличение объема от повышения температуры.

С увеличением температуры вещества точки $b$ и $v$ приближаются, то есть удельный объем насыщенного пара приближается к удельному объему жидкости.

Состояние вещества, обозначенное буквой К на рисунке, при котором плотность жидкости и плотность насыщенного пара, находящегося в равновесии с ним, равны, называется критическим состоянием вещества. Критическое состояние для каждого вещества характеризуется определенными значениями давления $P_c$, температуры $T_c$, и удельного объема $V_c$.

Типичные кривые, разделяющие различные состояния вещества, включают критическое состояние. При этом газы наблюдаются при температурах выше критической (T > Tк). На изотерме, соответствующей критической температуре (Tк), обычно имеется кривая АКВ.

Кривая КС обозначает жидкость, находящуюся под давлением, равным давлению насыщенного пара при данной температуре. С другой стороны, на участке кривой KD вещество находится в состоянии насыщенного пара (T < Tк).

Критическая изотерма (КВ) разделяет области, где существуют газообразные состояния вещества: 1) для области 7 < Tк и 2) для области T > Tк. Газообразные состояния при температурах ниже критических обычно называются паром, а при температурах выше критических - реальным газом.

Рассмотрим три типа термодинамических процессов: изохорические, изобарические и изотермические, при которых вещество изменяет своё состояние.

1-2: Изобарическое сжатие, сопровождаемое охлаждением. В этом процессе вещество переходит из газообразного состояния в жидкое при понижении температуры до значения ниже критической температуры.

1-3: Изохорическое охлаждение. В этом случае также происходит переход из газообразного состояния в жидкое, однако без изменения объёма вещества.

4-5: Изобарическое сжатие при давлении, меньшем критического. В данном процессе газ сначала становится ненасыщенным паром, затем насыщенным, а затем, при дальнейшем сжатии и охлаждении, постепенно конденсируется в жидкость.

4-6: Изохорическое охлаждение при удельном объёме, большем, чем критический. В этом процессе газ, охлаждаемый при постоянном объёме, проходит через область ненасыщенного пара, становится насыщенным паром и затем частично конденсируется.

Процесс 7-8-9-10 представляет изотермический переход. Начальный этап (7) характеризуется наличием ненасыщенного пара. Путём сжатия происходит переход к состоянию насыщения (8), где вся подаваемая энергия идет на превращение воды в пар. Затем происходит постепенная конденсация (9), достигая окончательного этапа (10) — изотермического сжатия жидкости.

Процесс 11-12 описывает изотермический процесс, который происходит при температуре выше критической. В таких условиях вещество остается в газообразном состоянии, и невозможно превратить газ в жидкость путем изотермического сжатия, если температура выше критического значения. Для сжижения газа необходимо охладить его до температуры ниже критической.

Если процесс 7-8→9→10 выполняется с тщательно очищенным веществом, лишенным посторонних примесей, и сам процесс проводится медленно, то можно наблюдать так называемые метастабильные состояния.

Уравнение Ван-дер-Ваальса представляет собой модель уравнения состояния реального газа или жидкости, учитывающую межмолекулярные взаимодействия и объем самой молекулы.

Исходно, при выводе уравнения состояния идеального газа, которое для 1 моля имеет вид $PV=RT$, были сделаны два важных предположения:

1. Молекулы газа не взаимодействуют между собой, за исключением моментов столкновений, когда возникают силы отталкивания.

2. Собственный объем молекул пренебрежимо мал по сравнению с объемом сосуда, в котором находится газ.

Однако для реальных газов и жидкостей эти предположения не применимы. Вместо этого, для учета реального поведения веществ используются более сложные модели.

Из различных предложенных уравнений наиболее известным и широко используемым является уравнение Ван-дер-Ваальса:

$(p + \frac{a}{V^2})(V - b) = RT$

Где $p$ - давление, $V$ - объем, $T$ - температура, $R$ - универсальная газовая постоянная. Параметры $a$ и $b$ являются константами, зависящими от конкретного вещества, они учитывают силы взаимодействия между молекулами и их собственный объем соответственно.

Коррекции, внесенные в уравнение состояния идеального газа, могут быть представлены следующим образом:

1. Первая поправка учитывает взаимодействие между молекулами, обратно пропорциональное квадрату удельного объема, и выражается следующей формулой:

$$P + \frac{a}{V^2}$$

где ( P ) - давление, ( a ) - коэффициент, учитывающий молекулярное взаимодействие, ( V ) - удельный объем.

1. Вторая поправка учитывает собственный объем молекул, который обычно равен четырём молекулярным объемам ( V ). Это выражается следующим образом:

$$V - 4V$$

или

$$V - V_0$$

где ( V ) - объем, ( $V_0$ ) - собственный объем молекул.

Коэффициенты ( a ) и ( b ) в уравнении Ван-дер-Ваальса зависят от характеристик конкретного газа и могут быть определены путем измерения его объема, давления и температуры при различных условиях.

Для вещества с молярной массой ( M ) уравнение Ван-дер-Ваальса может быть записано следующим образом:

$$\left( P + \frac{a}{V^2} \right) (V - b) = RT$$

где ( R ) - универсальная газовая постоянная, ( T ) - температура, ($\mu$) - молярная масса.

Критические параметры газа представляют собой значения его макропараметров (давления, объёма и температуры) в критической точке, то есть в состоянии, когда жидкая и газообразная фазы вещества становятся неразличимыми. Для газа Ван-дер-Ваальса эти параметры могут быть найдены из уравнения состояния:

$\left(P+\frac{a}{V^2}\right)(V-b) = RT$

Умножим обе части на ( \frac{V}{P} ), чтобы получить уравнение третьей степени относительно ( V ):

$0 = \frac{RT}{P}V^3 - \left(\frac{RTb}{P}+1\right)V^2 + \frac{a}{P}V - \frac{ab}{P}$

В критической точке все три корня этого уравнения сливаются в один. Поэтому данное уравнение можно преобразовать следующим образом:

$(V_c - b)\left(1 - \frac{a}{V_cRT}\right) = 0$

Где ( V_c ) - критический объем, ( T_c ) - критическая температура, ( P_c ) - критическое давление.

Критические параметры газа могут быть вычислены с использованием уравнения Ван-дер-Ваальса. Это уравнение представляет собой модель, которая учитывает молекулярные взаимодействия и объем молекул.

Критические параметры определяются путем приравнивания коэффициентов при соответствующих степенях в уравнении Ван-дер-Ваальса к нулю. Это позволяет выразить критическое давление ($P_{\text{crit}}$), критический объем ($V_{\text{crit}}$) и критическую температуру ($T_{\text{crit}}$) через коэффициенты (a) и (b):

$R T_{\text{crit}} + b = 3V_{\text{crit}}$

Отсюда можно выразить критические параметры:

$P_{\text{crit}} = \frac{a}{27b^2}, \quad V_{\text{crit}} = 3b, \quad T_{\text{crit}} = \frac{8a}{27Rb}$

Кроме того, можно вычислить критический коэффициент сжимаемости ($k_{\text{crit}}$):

$k_{\text{crit}} = \frac{P_{\text{crit}}V_{\text{crit}}}{RT_{\text{crit}}} = \frac{3}{8}$

Однако уравнение Ван-дер-Ваальса имеет свои ограничения и недостатки:

1. Для реальных веществ критический коэффициент сжимаемости $(k_{\text{crit}})$ обычно больше, чем 0.375, который предсказывает уравнение.

2. Объем молекул вещества в реальности часто несколько больше, чем предсказывает уравнение ($2b$ вместо $3b$).

3. Уравнение Ван-дер-Ваальса не совсем точно описывает поведение вещества в области двухфазных состояний, что приводит к расхождению с экспериментальными данными.

Таким образом, хотя уравнение Ван-дер-Ваальса является полезным инструментом для моделирования газов, необходимо учитывать его ограничения при анализе реальных систем.

При фиксированной температуре уравнение Ван-дер-Ваальса устанавливает связь между объемом и давлением для изотерм Ван-дер-Ваальса. При очень высоких температурах они приближаются к гиперболе $p = \text{const}$ и описывают газообразное состояние вещества (подобно идеальному газу). При снижении температуры форма изотермы постепенно изменяется, и при определенной температуре $T$проявляется "точка перегиба" $K$. При еще более низких температурах изотерма Ван-дер-Ваальса принимает сложную форму и может даже заходить в область отрицательных давлений.

Изотермы, соответствующие низким температурам, демонстрируют, что изотермы реального вещества приближаются к изотермам Ван-дер-Ваальса на участках 1-2, что соответствует жидким состояниям, и 5-6, что соответствует парообразным состояниям вещества. Однако в средней части реальная изотерма не следует по кривой 2-3-4-5, как предсказывает уравнение Ван-дер-Ваальса, а идет по изобаре 2-5. В точке 2 присутствует только "кипящая жидкость", а в точке 5 только насыщенный пар.

Проведя опыты с очень чистым веществом и осуществив сжатие, расширение, подвод и отвод теплоты достаточно медленно, можно обнаружить состояния, соответствующие участкам 2-3 (перегретая жидкость) и 5-4 (пересыщенный пар). Участок 3-4 изотермы представляет собой часть, соответствующую неустойчивым состояниям вещества: при сжатии объем не увеличивается, но давление уменьшается, что означает, что вещество не только не препятствует сжатию, но и, наоборот, само "подталкивает" к этому.

Изотермы реального газа описывают зависимость давления от объёма при постоянной температуре. При температуре ниже критической образуются синие изотермы, на которых присутствуют зелёные участки, указывающие на метастабильные состояния. Левее точки F наблюдается нормальное состояние жидкости, а точка F представляет собой точку кипения. Прямая FG описывает равновесие между жидкой и газообразной фазами, участок FA характеризует перегретую жидкость, а F'A - растянутую жидкость (при отрицательном давлении). Участок AC представляет собой аналитическое продолжение изотермы, которое физически невозможно. Участок CG соответствует переохлаждённому пару, а точка G обозначает точку росы. Справа от точки G наблюдается нормальное состояние газа. Красная линия обозначает критическую изотерму, а точка К представляет собой критическую точку. Голубые изотермы представляют сверхкритические состояния.