31.01.2024 / Тепло и Статистика

Термодинамика и статистическая физика

Термодинамика и статистическая физика

Лекция № 2

Первый закон термодинамики

1. Внутренняя энергия. Макроскопическая работа. Количество теплоты.

2. Первый закон термодинамики.

3. Условия превращения теплоты в работу.

4. Основные элементы тепловой машины. Цикл Карно. Максимальный КПД тепловых машин.

5. Теплоемкость. Молярная теплоемкость идеального одноатомного газа при постоянном объеме и постоянном давлении.

6. Адиабатический процесс. Уравнение адиабаты.

Внутренняя энергия

Помимо механической энергии, любое тело (или система) обладает внутренней энергией. Внутренняя энергия представляет собой энергию покоя, не связанную с движением тела.

Эта энергия формируется из следующих компонентов:

• теплового хаотического движения молекул,

• потенциальной энергии взаимодействия молекул (для реальных газов),

• кинетической и потенциальной энергии электронов в атомах, нуклонов в ядрах и других аспектов.

В термодинамике ключевно учитывать не абсолютное значение внутренней энергии, а её изменение. В ходе термодинамических процессов изменяется лишь кинетическая энергия движущихся молекул. Тепловой энергии недостаточно для изменения структуры атома, не говоря уже о ядре.

Таким образом, в термодинамике под внутренней энергией фактически понимают энергию теплового хаотического движения молекул.

Внутренняя энергия одного моля идеального одноатомного газа выражается следующим образом:

$U = \frac{3}{2}kT$

где ( k ) - постоянная Больцмана, ( T ) - температура.

Таким образом, внутренняя энергия зависит только от температуры. Она является функцией состояния системы и не зависит от предыстории:

$dU = 0$

В каждом состоянии система обладает определенным и только таким значением внутренней энергии. Это позволяет записать:

$\Delta U = U_2 - U_1$

Поскольку внутренняя энергия - функция состояния, то $\Delta U = 0$. Это справедливо для любой функции состояния.

Внутренняя энергия $(U)$ для $(v)$ молей идеального одноатомного газа определяется следующим образом:

$U = \frac{3}{2}vNkT = \frac{3}{2}vRT$

Для многоатомного идеального газа с (i) степенями свободы:

$U = \frac{i}{2}NkT = \frac{i}{2}RT$

Для одного моля идеального газа:

$U = -RT$

Число степеней свободы молекулы определяется как количество независимых координат, которые определяют положение молекулы в пространстве. Вот как распределяются степени свободы для различных типов молекул:

1. Одноатомная молекула:

   • Поступательное движение: 3 степени свободы (три независимые координаты центра массы молекулы).

2. Двухатомная молекула:

   • Поступательное движение: 3 степени свободы.

   • Вращательное движение: 2 степени свободы (углы поворота молекулы относительно трех взаимно перпендикулярных осей).

3. Трехатомная молекула:

   • Поступательное движение: 3 степени свободы.

   • Вращательное движение: 3 степени свободы (углы поворота молекулы относительно трех взаимно перпендикулярных осей).

Общее количество степеней свободы для молекулы можно определить как сумму поступательного и вращательного движений:

$\text{Число степеней свободы} = \text{Поступательное движение} + \text{Вращательное движение}$

Для молекул с более чем тремя атомами (например, трехатомных молекул), могут также учитываться колебательные движения, что добавляет еще степени свободы. Однако, в вашем тексте не приведены конкретные значения для колебательных степеней свободы.

Внутренняя энергия идеального одноатомного газа $(U)$ определяется суммарной кинетической энергией теплового движения молекул. Вот некоторые формулировки и понятия, связанные с внутренней энергией:

1. Внутренняя энергия идеального газа ((U)):

   • $U = N \langle E \rangle$, где (N) - число молекул, $\langle E \rangle$ - средняя кинетическая энергия одной молекулы.

   • $U = \frac{3}{2}NkT$ для одноатомного газа, где $k$ - постоянная Больцмана, $T$) - температура.

2. Задание:

   • Сравните приращение внутренней энергии при переходах 1-3 и 1-2-3.

   • $\Delta U_{1-3} ) и ( \Delta U_{1-2-3}$ - приращение внутренней энергии для указанных переходов.

3. Внутренняя энергия как функция состояния:

   • Внутренняя энергия ($U$) является функцией состояния системы. Её приращение не зависит от вида процесса, происходящего в системе.

4. Для более сложных молекул:

   • Для молекул с более сложной структурой, число степеней свободы $(f)$ может учитываться в выражении для внутренней энергии: $U = fNkT$.

Обратите внимание, что формулировки и выражения могут различаться в зависимости от контекста и используемых обозначений.

Работа и теплота

Термодинамическая система может обладать как внутренней, так и механической энергией, и различные системы могут обмениваться этими видами энергии. Обмен механической энергией характеризуется совершенной работой $A$, а обмен внутренней энергией - количеством переданного тепла $Q$. Механическая энергия может преобразовываться в тепловую энергию и обратно.

Формула для работы $W$, совершаемой системой при бесконечно малом изменении объема системы $dV$, выражается как:

$W = P \cdot S \cdot dx = P \cdot dV$

где:

• $P$ - давление газа в сосуде,

• $S$ - площадь поршня,

• $dx$ - изменение координаты поршня, и

• $dV = S \cdot dx$ - изменение объема сосуда при перемещении поршня на ( dx ).

Таким образом, работа равна произведению давления на изменение объема $( P \cdot dV )$, где $dV$ определяется как площадь поршня $S$ умноженная на его перемещение $dx$.

Для идеального газа при условии, что давление $(p)$ постоянно, работу $(W)$ можно выразить следующим образом:

$W = p \cdot \Delta V$

где:

• $p$ - постоянное давление,

• $\Delta V$ - изменение объема газа.

Это соотношение предполагает, что давление остается постоянным в процессе.

Для различных типов процессов работа газа может быть выражена различными уравнениями. Вот несколько формулировок для работы газа при различных процессах:

1. Изопроцесс (при постоянстве давления): $A = P \cdot \Delta V$

2. Изохорический процесс (при постоянстве объема): $A = 0$ (Так как объем остается постоянным, работа при изохорическом процессе равна нулю).

3. Изотермический процесс (при постоянстве температуры): $A = nRT \cdot \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$ (Где $n$ - количество молекул газа, $R$ - универсальная газовая постоянная, $T$ - температура, $V_1$ и $V_2$ - начальный и конечный объемы).

4. Адиабатический процесс (без обмена теплом с окружающей средой): $A = \frac{M}{\gamma - 1} \cdot (V_2^{1-\gamma} - V_1^{1-\gamma})$ (Где $M$ - масса газа, $\gamma$ - показатель адиабаты, $V_1$ и $V_2$ - начальный и конечный объемы).

Здесь $P$ - давление, $V$ - объем, $T$ - температура, $n$ - количество молекул газа, $R$ - универсальная газовая постоянная, $M$ - масса газа, $\gamma$ - показатель адиабаты.

Количество теплоты $Q$ представляет собой энергию, которая передается от одного тела к другому при их контакте (непосредственно или через третье тело) или путем излучения. Количество тепла, также называемое теплотой, является мерой изменения внутренней энергии системы в процессе теплопередачи, которая может осуществляться различными способами, такими как теплопроводность, тепловое излучение и конвекция (перенос теплоты, обусловленный различием температур в разных местах жидкости или газа). Первое начало термодинамики, также известное как закон сохранения энергии в термодинамике, утверждает, что количество теплоты $(Q)$, сообщаемой телу, равно увеличению его внутренней энергии $(ΔU)$ и совершенной им работы $(A)$:

$Q = ΔU + A$

Или, переставив слагаемые:

$ΔU = Q - A$

Это уравнение описывает изменение внутренней энергии тела как разницу между количеством теплоты, полученным телом, и работой, которую тело совершает.

Закон сохранения энергии для малого изменения состояния системы можно записать следующим образом:

$\delta Q = dU + \delta A$

Где:

• $U$ - функция состояния системы,

• $dU$ - её полный дифференциал,

• $\delta Q$ - малое количество теплоты, полученное системой,

• $\delta A$ - малая совершённая работа.

Отмечается, что $dU$ является полным дифференциалом, в то время как $\delta A$ и $\delta Q$ не являются полными дифференциалами, и их приращения могут зависеть от пути, по которому система проходит в пространстве состояний.

Теплота $Q$ и работа $A$ зависят от того, каким образом совершен переход из состояния 1 в состояние 2 (изохорически, адиабатически), а внутренняя энергия $U$ не зависит. При этом нельзя сказать, что система обладает определенным для данного состояния значением теплоты и работы. Количество теплоты $Q$ выражается в тех же единицах, что работа и энергия, т.е. в джоулях $([Q] = \text{Дж})$.

При изотермическом расширении идеального газа от объема $V_1$ до объема $V_2$, работа $(A)$, совершаемая газом, может быть выражена как:

$A = \int_{V_1}^{V_2} P , dV$

В идеальном газе уравнение состояния $PV = RT$ справедливо. Решив его относительно давления $P$, мы получим:

$P = \frac{RT}{V}$

Таким образом, работа $A$ будет равна:

$A = \int_{V_1}^{V_2} \frac{RT}{V} , dV$

Решив этот интеграл, получим:

$A = RT \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$

Таким образом, работа при изотермическом расширении идеального газа будет равна $RT \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$.

Если изменение внутренней энергии $(\Delta U)$ равно нулю $(\Delta U = 0)$, то согласно первому началу термодинамики, количество работы $(A)$ должно быть равно количеству теплоты $(Q)$, выделяемой или передаваемой системе. Иными словами, при отсутствии изменения внутренней энергии, система не может самопроизводить работу больше, чем энергия, полученная извне. Это утверждение исключает возможность построения вечного двигателя первого рода, который совершал бы бесконечную работу без внешнего источника энергии.

В термодинамике особое значение имеют циклические процессы, при которых система, проходя ряд состояний, возвращается в исходное.

Цикл, выполняемый идеальным газом, может быть разделен на два процесса: расширение (1-2) и сжатие (2-1) газа. Работа расширения (1-2) положительна $(dV > 0)$, в то время как работа сжатия (2-1) отрицательна $(dV < 0)$. Работа ($A$), совершаемая в течение всего цикла, определяется площадью, ограниченной кривой внутри цикла.

Прямой цикл: При прямом цикле идеального газа работа ($A$) положительна ($A = P \cdot \Delta V > 0$), когда газ проходит расширение (от объема $V_1$ до $V_2$), и отрицательна при сжатии (от $V_2$ до $V_1$).

Обратный цикл: При обратном цикле работа ($A$) отрицательна ($A = P \cdot \Delta V < 0$), когда газ проходит расширение (от объема $V_1$ до $V_2$), и положительна при сжатии (от $V_2$ до $V_1$).

Прямой цикл применяется в тепловых двигателях, периодически совершающих работу за счет получения теплоты извне. Обратный цикл используется в холодильных машинах, где за счет внешних работ теплота передается от тела с более низкой температурой к телу с более высокой температурой.

В результате кругового процесса система возвращается в исходное состояние, что означает, что полное изменение внутренней энергии газа равно нулю ($\Delta U = 0$). Поэтому первое начало термодинамики для кругового процесса записывается как:

$Q = \Delta U + A = A$

То есть работа, совершаемая в течение цикла, равна количеству теплоты, полученной извне.

У вас есть несколько опечаток в тексте, вот исправленный вариант:

$Q = A$

Таким образом, работа, совершаемая в течение цикла, равна количеству полученной извне теплоты. Однако в результате кругового процесса система может как получать, так и отдавать теплоту. Поэтому уравнение теплового баланса для цикла выражается как:

$Q = Q_1 - Q_2$

где:

• $Q$ - общее количество теплоты, полученное или отданное системой,

• $Q_1$ - количество теплоты, полученное системой,

• $Q_2$ - количество теплоты, отданное системой.

Термический коэффициент полезного действия ($\eta$) для кругового процесса выражается следующей формулой:

$\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$

где:

• $T_1$ - абсолютная температура горячего резервуара,

• $T_2$ - абсолютная температура холодного резервуара.

Эта формула представляет собой отношение разницы температур к абсолютной температуре горячего резервуара.

Когда горячий резервуар близок к бесконечности по температуре ($T_1 \to \infty$), термический КПД приближается к 1, что соответствует идеальным условиям. В реальных системах с ограниченной разницей температур КПД ограничивается этой разницей.

Формула для термического коэффициента полезного действия ($η$) может быть представлена следующим образом:

$η = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2}{Q_1}$

где:

• $η$ - термический коэффициент полезного действия,

• $Q_1$ - количество теплоты, поданное в систему,

• $Q_2$ - количество теплоты, отданное системой.

Эта формула выражает отношение полезной работы к полученному теплу в системе.

Термический процесс считается обратимым, если он может протекать как в прямом, так и в обратном направлении. При этом, если процесс начинается с прямого направления и затем переходит в обратное, и система возвращается в исходное состояние, то в окружающей среде и самой системе не происходит никаких изменений.

Любой процесс, не соответствующий этим условиям, считается необратимым. Важно отметить, что любой процесс, происходящий в равновесии, является обратимым. Обратимость равновесного процесса в системе обусловлена тем, что каждое промежуточное состояние достигает термодинамического равновесия; для такого состояния процесс в прямом или обратном направлении равнозначен.

Реальные физические процессы сопровождаются диссипацией энергии, вызванной факторами, такими как трение и теплопроводность, что делает их необратимыми. Обратимые процессы, напротив, представляют идеализированный случай, который отличается от реальных условий.

Рассмотрение обратимых процессов имеет важное значение по двум причинам:

1. Многие процессы, происходящие в природе и в технике, приближаются к обратимым;

2. Обратимые процессы обладают максимальным термическим коэффициентом полезного действия, что делает их наиболее эффективными.

Изучение обратимых процессов предоставляет возможность выявления путей повышения КПД реальных тепловых двигателей.

В случае адиабатического расширения газа условие теплоизолированности системы исключает непосредственный теплообмен между системой и окружающей средой. Следовательно, проведя адиабатическое расширение газа, а затем его сжатие, можно вернуть газ в исходное состояние так, чтобы в окружающей среде не произошло никаких изменений. Это является примером обратимого процесса.

Тепловая машина - это периодически действующий двигатель, который совершает работу, используя получаемое извне тепло. Процесс работы тепловой машины заключается в циклическом преобразовании теплоты, полученной от источника, в полезную работу. При этом важным условием является изменение состояния не только основного тела, но и другого элемента системы.

Тепловые машины оперируют на основе циклического процесса, то есть они возвращаются в исходное состояние после завершения каждого цикла.

Холодильники в тепловых машинах выполняют важную функцию. Поскольку в тепловой машине применяется циклический процесс, который возвращает систему в исходное состояние, можно сэкономить энергию, отдавая часть тепла. Охлаждение пара делает его более удобным для сжатия, что в свою очередь приводит к снижению работы, затрачиваемой на сжатие. Поэтому холодильники применяются в тепловых машинах для оптимизации процесса.

На рисунке представлен принцип работы тепловой машины с использованием прямого цикла. Этот цикл применяется в тепловых двигателях, которые являются периодически действующими тепловыми машинами, выполняющими работу за счет получения теплоты извне. Пометим символами:

• "$Q$" - тепловой поток, поступающий в систему,

• "$T$" - температура системы,

• $A$- работа, совершаемая системой,

• $Q2$ - тепловой поток, отводимый из системы.

Уравнение $A=Q-Q2$ описывает выполненную системой работу, которая является разностью между полученной теплотой $Q$ и отводимой теплотой $Q2$.

Формула для работы $A$ в тепловом двигателе с использованием прямого цикла:

$A = Q - Q_2$

где:

• $A$ - работа, совершаемая системой,

• $Q$ - тепловой поток, поступающий в систему,

• $Q_2$ - тепловой поток, отводимый из системы.

От термостата с более высокой температурой $T_1$, который называется нагревателем, за цикл отнимается количество теплоты $Q_1$, а термостату с более низкой температурой $T_2$, который называется холодильником, за цикл передается количество теплоты $Q_2$, и совершается работа $A$:

$A = Q_1 - Q_2$

где:

• $A$ - работа, совершаемая системой,

• $Q_1$ - количество теплоты, поглощаемое нагревателем,

• $Q_2$ - количество теплоты, передаваемое холодильнику.

Обратный цикл применяется в холодильных машинах - периодически действующих установках, где за счет работы внешних сил теплота $Q$ от холодного тела переносится к телу с более высокой температурой.

Тепловой двигатель - это устройство, в котором тепловая энергия преобразуется в работу. Холодильная машина - это устройство, которое осуществляет охлаждение за счет работы, совершаемой внешними силами.

В тепловом двигателе количество тепла ( Q ), переданное телу с более высокой температурой, преобразуется в работу ( A ) по формуле:

$A = Q - 0$

где ( Q ) - количество тепла, $A$ - работа, совершаемая тепловым двигателем.

КПД теплового двигателя выражается как отношение работы $A$ к поступившему теплу $Q$:

$\text{КПД} = \frac{A}{Q}$

Без совершения работы $A$ над системой невозможно отбирать теплоту от менее нагретого тела и передавать ее более нагретому телу.

Круговым процессом (циклом) называется процесс, в результате которого термодинамическая система возвращается в исходное состояние. Прямой цикл применяется в тепловых машинах, а обратный цикл используется в холодильных машинах.

Прямой цикл включает в себя следующие этапы:

1. Работа расширения газа (площадь фигуры VVOUCY).

2. Работа сжатия газа (площадь фигуры VIGYO).

Обратный цикл включает в себя следующие этапы:

1. Работа расширения газа (площадь фигуры VCBCV).

2. Работа сжатия газа (площадь фигуры Ѵ.CACY).

КПД тепловой машины выражается как отношение полезной работы $A$ к полученному теплу $Q$:

$\text{КПД} = \frac{A}{Q}$

Холодильный коэффициент выражается как отношение теплоты, отнятой от холодного тела, к затраченной работе:

$\text{Коэффициент производительности} = \frac{Q_2}{A}$

где $Q_2$ - количество теплоты, отнятой от холодного тела.

Цикл Карно – это теоретический анализ наиболее экономичного обратимого цикла, который состоит из двух изотерм и двух адиабат. Этот цикл был разработан теоретиком Карно и получил его имя.

Прямой цикл Карно использует идеальный газ в качестве рабочего тела, заключенного в сосуд с подвижным поршнем.

Цикл Карно представляет собой самый экономичный круговой процесс, состоящий из двух изотерм и двух адиабат. В данном цикле обозначаются как 0-0.

     P
     │
 A───┼───B
 │   │
 │   │
 D───┼───C
     │
     P

Изотермы обозначены как AB и CD, а адиабаты - как BC и DA.

Теорема Карно утверждает, что из всех периодически действующих тепловых машин с одинаковыми температурами нагревателей и холодильников, максимальный КПД обладают обратимые машины. КПД обратимых машин, работающих по циклу Карно, одинаков и не зависит от конструкции машины или характеристик рабочего вещества. При этом КПД таких машин всегда меньше единицы.

В изотермическом процессе внутренняя энергия газа остается постоянной $U = const$. Поэтому количество теплоты, переданное газу от нагревателя, равно работе расширения, выполненной газом при переходе из состояния 1 в состояние 2:

$m \cdot V \cdot A_{12} = RT \ln \frac{V_2}{V_1} = \mu \cdot V.$

В адиабатическом расширении 2-3 теплообмен с окружающей средой отсутствует, и работа расширения совершается за счет изменения внутренней энергии:

$m \cdot A_{23} = -C (T_2 - T_3).$

Изотермы и адиабаты указывают на различные процессы в графике.

Термический КПД цикла Карно можно выразить как:

$\eta = 1 - \frac{Q_2}{Q_1}$

Применив уравнение для адиабат 2-3 и 4-1, можно записать:

$T_2V_2^{\gamma - 1} = T_3V_3^{\gamma - 1} \quad \text{и} \quad T_4V_4^{\gamma - 1} = T_1V_1^{\gamma - 1}$

Отсюда:

$\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{V_3}{V_2}\right)^{\gamma - 1} \quad \text{и} \quad \frac{T_4}{T_3} = \left(\frac{V_4}{V_3}\right)^{\gamma - 1}$

Подставив в уравнение для КПД, получим:

$\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = 1 - \left(\frac{V_3}{V_2}\right)^{\gamma - 1}$

Да, вы правильно подметили. Теорема Карно утверждает, что тепловой КПД цикла Карно является наивысшим возможным КПД для тепловой машины, работающей между двумя резервуарами с постоянными температурами.

Формула теплового КПД Карно:

$\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1},$

где $T_1$ и $T_2$ - температуры нагревателя и холодильника соответственно.

Этот КПД зависит только от температурных уровней системы и является ограничением для всех тепловых машин. Поэтому цикл Карно, представляющий собой идеализированный обратимый процесс, полезен для установления верхней границы КПД тепловых машин.

На рисунке изображен обратный цикл Карно, который можно описать следующим образом:

1. Изотермическое сжатие (В-А): Газ сжимается из состояния B в состояние A при постоянной температуре Т. В этом процессе газ отдает количество теплоты Q1.

2. Адиабатическое сжатие (A-H): Затем газ подвергается адиабатическому сжатию из состояния A в состояние H, при этом ему не подводится и не отводится тепло.

3. Изотермическое расширение (H-C): Газ расширяется из состояния H в состояние C при постоянной температуре Т. В этом процессе газ принимает количество теплоты Q2.

4. Адиабатическое расширение (C-B): Затем газ подвергается адиабатическому расширению из состояния C в состояние B, при этом ему не подводится и не отводится тепло.

Важно отметить, что обратный цикл Карно представляет идеализированный процесс и служит эталоном для определения максимально возможного КПД тепловых машин.

В данном цикле, который можно охарактеризовать как обратный цикл, происходят следующие процессы:

1. Изотермическое расширение (A-2): Рабочее тело принимает количество теплоты Q₁ от нагревателя при постоянной температуре T₁.

2. Адиабатическое расширение (2-2): Затем рабочее тело подвергается адиабатическому расширению, при котором ему не подводится и не отводится тепло.

3. Изотермическое сжатие (2-T₂): Теперь газ из состояния 2 сжимается при постоянной температуре T₂, отдавая количество теплоты Q₂ холодильнику.

4. Адиабатическое сжатие (T₂-A): Завершающий этап - адиабатическое сжатие из состояния T₂ в состояние A, при котором ему не подводится и не отводится тепло.

Важно отметить, что в этом цикле работа, совершаемая над газом, является отрицательной (A = (Q₁ - Q₂) < 0), что подчеркивает обратную направленность цикла. Такой процесс позволяет переносить энергию в форме тепла от холодного тела к горячему за счет совершения внешними силами работы.

Холодильный коэффициент Карно для холодильных машин определяется выражением:

$K = \frac{T_2}{T_1 - T_2}$

где:

• $T_1$ - температура нагревателя (высокая температура),

• $T_2$ - температура холодильника (низкая температура).

Этот коэффициент представляет собой отношение температур в абсолютных шкалах.

Теплоёмкость ($C$) идеального газа характеризуется количеством теплоты ($Q$), необходимым для изменения его температуры ($dT$) на один градус. Формула теплоёмкости определяется как:

$C = \frac{dQ}{dT}$

Размерность теплоёмкости: $[C] = \frac{\text{Дж}}{\text{К}}$

Теплоёмкость - величина неопределённая, поэтому используют понятия удельной и молярной теплоёмкости.

Удельная теплоёмкость ($C_{\text{уд}}$) представляет собой количество теплоты, необходимое для нагревания единицы массы вещества на 1 градус:

$C_{\text{уд}} = \frac{Q}{m \cdot dT}$

где:

• $C_{\text{уд}}$ - удельная теплоёмкость,

• $Q$ - количество теплоты,

• $m$ - масса вещества,

• $dT$ - изменение температуры.

Размерность удельной теплоёмкости: $[C_{\text{уд}}] = \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$.

Молярная теплоемкость $C_{\text{м}}$ для газов - это количество теплоты, необходимое для нагревания 1 моля газа на 1 градус:

$C_{\text{м}} = n \cdot C_{\text{уд}}$

где:

• $C_{\text{м}}$ - молярная теплоёмкость,

• $n$ - количество молей газа.

Размерность молярной теплоёмкости: $[C_{\text{м}}] = \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$.

Теплоёмкость при постоянном объёме ((C_V)) термодинамической системы определяется как изменение внутренней энергии ((U)) системы при изменении температуры ((T)) при постоянном объёме:

$C_V = \frac{dU}{dT}$

где:

• $C_V$ - теплоёмкость при постоянном объёме,

• $dU$ - изменение внутренней энергии,

• $dT$ - изменение температуры.

Теплоёмкость при постоянном объёме измеряется в $[C_V] = \frac{\text{Дж}}{\text{К}}$.

Это означает, что теплоёмкость при постоянном объёме показывает, сколько теплоты нужно подать системе для изменения её температуры на 1 градус при постоянном объёме. Теплоемкость при постоянном давлении ((C_p)) и теплоемкость при постоянном объеме ((C_V)) связаны уравнением:

$C_p - C_V = R$

где:

• (C_p) - теплоемкость при постоянном давлении,

• (C_V) - теплоемкость при постоянном объеме,

• (R) - универсальная газовая постоянная.

Это соотношение вытекает из первого начала термодинамики и уравнения состояния идеального газа:

$\Delta U = Q - W$

Для молекул идеального газа, где молекулы не обладают внутренней структурой, изменение внутренней энергии ($\Delta U$) можно связать с изменением температуры ($dT$) и объема ($dV$):

$\Delta U = nC_VdT$

где:

• $n$ - количество молекул газа.

Из уравнения состояния идеального газа, можно выразить изменение температуры через давление ($P$), объем ($V$) и универсальную газовую постоянную ($R$):

$\Delta U = nC_pdT = nRdT - PdV$

Сравнивая два уравнения для $\Delta U$, получаем $C_p - C_V = R$. Это соотношение верно для молекул идеального газа.

Уравнение $C_p = C + R$ представляет собой соотношение между удельной теплоемкостью при постоянном давлении ($C_p$), удельной теплоемкостью при постоянном объеме ($C$), и универсальной газовой постоянной ($R$) для одного моля газа.

Роберт Майер показал, что универсальная газовая постоянная ($R$) численно равна работе, совершаемой одним молем газа при нагревании на один градус при изобарическом процессе ($C_p$). Таким образом, $R$ имеет физический смысл, представляя собой количество энергии, которое можно преобразовать в механическую работу при нагревании одного моля газа при постоянном давлении.

Майер использовал это соотношение для вычисления механического эквивалента теплоты, и он получил, что 1 калория равна 4,19 джоулей. Формула $C_p = C + vR$ относится к удельной теплоемкости при постоянном давлении ($C_p$), удельному объему ($v$), и универсальной газовой постоянной ($R$) для одного моля газа.

Формула для изменения внутренней энергии ((U)) в зависимости от температуры ($T$) для одного моля идеального газа выражается как: $dU = C , dT$

Здесь (C) - это удельная теплоемкость при постоянном объеме ((C_v)) для одного моля газа. Интегрируя это уравнение по температуре, мы получаем изменение внутренней энергии. Уравнение принимает вид: $U = C_v \Delta T$

где $\Delta T$ - изменение температуры. Важно отметить, что это уравнение справедливо для идеального газа и при условии, что внутренняя энергия зависит только от температуры.

Для идеального газа внутренняя энергия ($U$) является функцией только температуры и не зависит от объема ($V$), давления ($P$) и подобных величин. Таким образом, формула $U = C T$ справедлива для любого процесса, где (C) - удельная теплоемкость.

Если рассматривать один моль идеального газа ((n = 1)), то для произвольной массы газа ((m)) формула для внутренней энергии ($U$) принимает вид: $U = -C T$

где (C) - удельная теплоемкость при постоянном объеме ($C_v$).

Формула для внутренней энергии ((U)) одного моля идеального одноатомного газа (например, моноатомного газа, такого как гелий) в зависимости от температуры ((T)) выглядит следующим образом:

[ U = \frac{3}{2} RT ]

где:

• ( U ) - внутренняя энергия одного моля газа,

• ( R ) - универсальная газовая постоянная,

• ( T ) - температура в кельвинах.

Удельная теплоемкость при постоянном объеме ($C_v$) для одноатомного идеального газа равна:

$C_v = \frac{du}{dT} = \frac{3}{2} R$

где:

• $C_v$ - удельная теплоемкость при постоянном объеме,

• $du$ - изменение внутренней энергии,

• $dT$ - изменение температуры.

Для одноатомного газа удельная теплоемкость при постоянном объеме равна$\frac{3}{2}$ универсальной газовой постоянной ($R$).

Для изобарических процессов (при постоянном давлении) теплота ($dQ_p$) может быть записана как изменение внутренней энергии ($dU$) плюс работа ($RdT$):

$dQ_p = dU + RdT$

Для одного моля идеального одноатомного газа, удельная теплоемкость при постоянном давлении ((C_p)) определяется следующим образом:

$C_p = \frac{dQ_p}{dT} = C_v + R$

Из предыдущих формул, мы знаем, что удельная теплоемкость при постоянном объеме ($C_v$) для одноатомного газа равна $\frac{3}{2}R$. Таким образом:

$C_p = \frac{5}{2}R$

Молярная теплоемкость при постоянном давлении ($C_p$) для одноатомных газов выражается как:

$C_p = \frac{5}{2}R$

где (R) - универсальная газовая постоянная. Подставляя числовые значения, получаем:

$C_p \approx 20.8 , \text{Дж/(моль-К)}$

Это значение молярной теплоемкости при постоянном давлении для одноатомных газов, таких как моноатомный гелий.

Для одного моля идеального газа, связь между удельной теплоемкостью при постоянном давлении ((C_p)) и удельной теплоемкостью при постоянном объеме ($C_v$) определяется следующим образом:

$C_p - C_v = R$

Из уравнения состояния идеального газа (где (i) - число степеней свободы):

$C_p - C_v = R$

Для одноатомного идеального газа ($i = 3$), у нас имеется три степени свободы. Подставим (i = 3) в уравнение:

$C_p - C_v = 2R$

Таким образом, у нас получается:

$C_p = C_v + 2R$

Также, коэффициент Пуассона $(\gamma)$ для идеального газа определяется как отношение удельной теплоемкости при постоянном давлении к удельной теплоемкости при постоянном объеме:

$\gamma = \frac{C_p}{C_v}$

Для одноатомного идеального газа ((i = 3)), имеем:

$\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{5}{3} \approx 1.67$

Таким образом, коэффициент Пуассона ((\gamma)) для одноатомного идеального газа составляет примерно 1.67.

Молярная теплоемкость ((C)) - это величина, которая измеряет количество теплоты, необходимое для изменения температуры одного моля вещества на 1 Кельвин. Молярная теплоемкость может зависеть от строения молекулы и типа процесса.

Для идеального газа, первое начало термодинамики для одного моля выражается уравнением:

$C_v dT = dU + PdV$

Где:

• $C_v$ - молярная теплоемкость при постоянном объеме,

• $U$ - внутренняя энергия,

• $P$ - давление,

• $V$ - объем.

Если процесс происходит при постоянном объеме ($dV = 0$), уравнение упрощается до:

$C_v dT = dU$

Молярная теплоемкость при постоянном объеме для идеального моноатомного газа (например, водорода) определяется формулой Майера:

$C_v = \frac{5}{2}R$

где (R) - универсальная газовая постоянная.

Температурная зависимость молярной теплоемкости может быть выражена в контексте теории теплоемкости идеального газа. В данном случае, молярная теплоемкость при постоянном объеме ($C_v$) для идеального моноатомного газа (например, водорода) не зависит от температуры и составляет $\frac{5}{2}R$.

Адиабатический (или адиабатный) процесс - это термодинамический процесс, в ходе которого система или газ обменивается энергией только механическим путем и не обменивается теплом с окружающей средой ($Q = 0$)). Адиабатический процесс может происходить без теплообмена с окружающей средой, что означается уравнением $dQ = 0$.

При адиабатическом процессе работа системы или над системой совершается за счет изменения внутренней энергии газа ($dU$). Из первого начала термодинамики ($dU = -PdV + \delta Q$), учитывая, что $dQ = 0$ для адиабатического процесса, получим $dU + PdV = 0$.

Для одного моля идеального газа уравнение состояния ($PV = RT$) позволяет выразить температуру как функцию объема: $T = PV/R$. Подставив это в уравнение адиабаты, получим:

$C_v dT + PdV = 0$

где $C_v$ - молярная теплоемкость при постоянном объеме. Уравнение адиабаты для одного моля идеального газа можно дополнительно упростить, используя соотношение $C_p = C_v + R$, которое приводит к $C_pdT - RdV = 0$.

Уравнение адиабаты для одного моля идеального газа может быть записано как:

$C_p dT - R \frac{dV}{V} = 0$

Где $C_p$ - молярная теплоемкость при постоянном давлении, (R) - универсальная газовая постоянная, (dT) - изменение температуры, (dV) - изменение объема.

Работая с этим уравнением, вы можете продолжить следующим образом:

$C_p dT = R \frac{dV}{V}$

Далее вы можете проинтегрировать это уравнение для процесса адиабатического расширения, чтобы получить зависимость между температурой и объемом.

$\int_{T_1}^{T_2} C_p dT = R \int_{V_1}^{V_2} \frac{dV}{V}$

Интегрируя, вы получите:

$C_p (T_2 - T_1) = R \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$

Это уравнение описывает связь между температурой и объемом для адиабатического процесса одного моля идеального газа.

Уравнение адиабаты для идеального газа

1. Определение адиабатического процесса:

   • Адиабатический процесс - это процесс, в котором нет теплообмена с окружающей средой ($Q = 0$).

2. Вывод уравнения адиабаты:

   • Рассмотрим изменение внутренней энергии газа при адиабатическом процессе: $dU + PdV = 0$.

   • Запишем уравнение состояния для идеального газа ($PV = RT$) и воспользуемся уравнением адиабаты.

   • Получим $PV^\gamma = \text{const}$, где $\gamma$ - показатель адиабаты ($\gamma = \frac{C_p}{C_v}$).

3. Вывод уравнения адиабаты в переменных $T$ и $V$:

   • Используя уравнение состояния $PV = RT$, перепишем уравнение адиабаты в виде $TV^\gamma = \text{const}$.

4. Уравнение Пуассона:

   • В адиабатическом процессе также можно записать уравнение Пуассона: $T^\gamma P^{1-\gamma} = \text{const}$.

5. Значение уравнения адиабаты:

   • Уравнение адиабаты описывает связь между температурой, давлением и объемом идеального газа в адиабатическом процессе.

Политропный процесс

1. Определение политропного процесса:

   • Политропный процесс - это процесс, при котором изменяются все основные параметры системы, за исключением теплоемкости, которая остается постоянной ($C = \text{const}$).

2. Уравнение политропы:

   • Уравнение политропы можно записать в форме $PV^n = \text{const}$, где $n$ - показатель политропы.

   • В терминах температуры и объема: $TV^{n-1} = \text{const}$.

3. Показатель политропы:

   • Показатель политропы ($n$) связан с теплоемкостью при постоянном давлении ($C_p$) и теплоемкостью при постоянном объеме ($C_v$) следующим образом: $n = \frac{C_p}{C_v}$.

4. Свойства политропного процесса:

   • Политропный процесс может описывать изменение состояния системы при воздействии внешних сил и теплообмене, при условии, что теплоемкость остается постоянной.

5. Примечание:

   • Политропный процесс включает адиабатный процесс, который является частным случаем политропного процесса при $n = \gamma$, где $\gamma$ - показатель адиабаты.

   Изопроцессы и Показатель политропы

   1. Изобарный процесс (Изопроцесс 1):

      • Условия:

        • Давление постоянно ($P = \text{const}$).

        • Показатель политропы $n = 0$.

      • Теплоемкость: $C = \gamma R$, где $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$ - показатель адиабаты.

   2. Изотермический процесс (Изопроцесс 2):

      • Условия:

        • Температура постоянна ($T = \text{const}$).

        • Показатель политропы $n = 1$.

      • Теплоемкость: $C = C_v$ или $C = C_p$, в случае идеального одноатомного газа.

   3. Изохорный процесс (Изопроцесс 3):

      • Условия:

        • Объем постоянен ($V = \text{const}$).

        • Показатель политропы $n = \infty$.

      • Теплоемкость: $C = C_v$.

   4. Связь с Показателем политропы:

      • Показатель политропы ($n$) связан с теплоемкостью при постоянном давлении ($C_p$) и теплоемкостью при постоянном объеме ($C_v$): $n = \frac{C_p}{C_v}$.

   5. Примечание:

      • Показатель политропы позволяет легко описывать различные изопроцессы, учитывая изменения основных параметров системы.

      Типы Процессов и Формула для Работы

      1. Изобарный процесс (Изопроцесс 1):

         • Условия:

           • Давление постоянно ($P = \text{const}$).

           • Показатель политропы $n = 0$.

         • Теплоемкость: $C = \gamma R$, где $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$ - показатель адиабаты.

      2. Изотермический процесс (Изопроцесс 2):

         • Условия:

           • Температура постоянна ($T = \text{const}$).

           • Показатель политропы $n = 1$.

         • Теплоемкость: $C = C_v$ или $C = C_p$, в случае идеального одноатомного газа.

      3. Изохорный процесс (Изопроцесс 3):

         • Условия:

           • Объем постоянен ($V = \text{const}$).

           • Показатель политропы $n = \infty$.

         • Теплоемкость: $C = C_v$.

      4. Адиабатический процесс (Изопроцесс 4):

         • Условия:

           • Адиабатический (без теплообмена с окружающей средой).

           • Показатель политропы $n = \gamma$, где $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$.

         • Теплоемкость: $C = C_v$ или $C = C_p$, в зависимости от условий.

      5. Формула для Работы (общая):

         • Работа во всех этих процессах может быть вычислена по формуле: $A = \frac{n}{n-1} \cdot P(V_2 - V_1)$, где $n$ - показатель политропы, $P$ - давление, $V_1$ и $V_2$ - объемы на начале и конце процесса.

         Политропические Процессы и Их Уравнения

         Политропический процесс:

         • Процесс с постоянной теплоемкостью ($C = \text{const}$).

         Уравнение состояния:

         • $PV^n = \text{const}$ (Уравнение политропы), где $n$ - показатель политропы.

         Уравнения политропы:

         1. Для объема: $V^n = \text{const}$.

         2. Для температуры: $T^{(n-1)/n} = \text{const}$.

         3. Для давления: $P^{(n)} = \text{const}$.

         Молярная теплоемкость идеального газа в политропическом процессе:

         • $C = \frac{R}{1 - n}$.

         Процессы с разными показателями политропы:

         1. Изохорический процесс (n = 0):

            • Условия: $V = \text{const}$.

            • Уравнение: $PV^0 = \text{const} \rightarrow P = \text{const}$.

            • Молярная теплоемкость: $C = \infty$.

         2. Изотермический процесс (n = 1):

            • Условия: $T = \text{const}$.

            • Уравнение: $PV = \text{const}$.

            • Молярная теплоемкость: $C = R$.

         3. Адиабатический процесс (n = $\gamma$):

            • Условия: Адиабатический (без теплообмена).

            • Уравнение: $PV^\gamma = \text{const}$.

            • Молярная теплоемкость: $C = \frac{R}{\gamma - 1}$.

         4. Изобарический процесс (n = $\infty$):

            • Условия: $P = \text{const}$.

            • Уравнение: $V^\infty = \text{const} \rightarrow V = \text{const}$.

            • Молярная теплоемкость: $C = 0$.

         Работа идеального газа в политропических процессах:

         • $A = \frac{1}{n-1} \cdot P(V_2 - V_1)$, где $n$ - показатель политропы, $P$ - давление, $V_1$ и $V_2$ - объемы на начале и конце процесса.

         Лекция № 3: Второе начало термодинамики

         1. Обратимые и необратимые процессы

         • Обратимые процессы: Процессы, которые могут быть возвращены к начальному состоянию без изменений в окружающей среде.

         • Необратимые процессы: Процессы, которые не могут быть восстановлены без потери энергии и изменений в окружающей среде.

         2. Энтропия. Второе начало термодинамики

         • Энтропия (S): Физическая величина, характеризующая степень беспорядка в системе. Увеличение энтропии связано с необратимыми процессами.

         3. Неравенство Клаузиуса. Закон возрастания энтропии

         • Неравенство Клаузиуса: В любом замкнутом системе процессы таковы, что энтропия системы не уменьшается: $\Delta S \geq 0$.

         4. Различные формулировки второго начала термодинамики

         • Формулировка Клаузиуса: "Нельзя построить периодически действующий механизм, полностью преобразующий теплоту в механическую работу без изменения других параметров".

         • Формулировка Кельвина: "Невозможно построить устройство, работающее в круговом процессе и не имеющее другого воздействия, кроме извлечения теплоты из резервуара и перевода этой теплоты в работу".

         • Формулировка Планка: "Энтропия изолированной системы, не изменяющейся сама по себе, стремится к максимуму при любом процессе".

         Второе начало термодинамики утверждает, что существуют ограничения на то, как энергия может быть использована и преобразована в различных процессах.

      Лекция № 3: Второе начало термодинамики

      1. Обратимые и необратимые процессы

      • Обратимые процессы: Процессы, которые могут быть возвращены к начальному состоянию без изменений в окружающей среде.

      • Необратимые процессы: Процессы, которые не могут быть восстановлены без потери энергии и изменений в окружающей среде.

      2. Энтропия. Второе начало термодинамики

      • Энтропия (S): Физическая величина, характеризующая степень беспорядка в системе. Увеличение энтропии связано с необратимыми процессами.

      3. Неравенство Клаузиуса. Закон возрастания энтропии

      • Неравенство Клаузиуса: В любом замкнутом системе процессы таковы, что энтропия системы не уменьшается: $\Delta S \geq 0$.

      4. Различные формулировки второго начала термодинамики

      • Формулировка Клаузиуса: "Нельзя построить периодически действующий механизм, полностью преобразующий теплоту в механическую работу без изменения других параметров".

      • Формулировка Кельвина: "Невозможно построить устройство, работающее в круговом процессе и не имеющее другого воздействия, кроме извлечения теплоты из резервуара и перевода этой теплоты в работу".

      • Формулировка Планка: "Энтропия изолированной системы, не изменяющейся сама по себе, стремится к максимуму при любом процессе".

      Второе начало термодинамики утверждает, что существуют ограничения на то, как энергия может быть использована и преобразована в различных процессах.

   Обратимый процесс — это изменение состояния системы (или отдельного тела), которое, если провести в обратном направлении, вернет систему в исходное состояние через те же промежуточные состояния, но в обратной последовательности. При этом состояние тел вне системы остается неизменным. Или, другими словами, обратимый термодинамический процесс — это такой процесс, который позволяет системе вернуться в начальное состояние без изменений в окружающей среде. Равновестность является необходимым и достаточным условием для обратимости такого процесса.

Второе начало термодинамики вводит дополнительные принципы и понятия, которые расширяют возможности первого начала. Термодинамика, как наука об изменениях тепловой энергии, требует учета направления и специфики этих изменений.

Основные пункты второго начала термодинамики:

1. Обратимость процессов: Второе начало подчеркивает, что не все процессы могут происходить в обратимом направлении. Обратимость процесса означает, что система и окружающая среда могут вернуться к исходному состоянию после прохождения процесса.

2. Энтропия: Второе начало вводит понятие энтропии. Энтропия системы и окружающей среды в сумме всегда увеличивается для необратимых процессов. Энтропия является мерой беспорядка или хаоса в системе.

3. Неравенство Клаузиуса: Согласно неравенству Клаузиуса, тепло не может самопроизвольно переходить из тела с низкой температурой в тело с более высокой температурой.

4. Закон возрастания энтропии: Энтропия изолированной системы всегда увеличивается. Это означает, что процессы, происходящие в изолированных системах, имеют тенденцию к увеличению беспорядка.

Второе начало термодинамики помогает определить направление протекания тепловых процессов и внести ясность в их характер.

Важно отметить, что в процессах теплового обмена, обратимость определяется направлением передачи тепла между системой и её окружением. При рассмотрении этих процессов учитываются знаки теплоты.

1. Необратимый процесс:

   • Когда система получает тепло от нагревателя (Qг > 0) и отдает тепло холодильнику (Q₂ < 0), то общее количество теплоты, поступившее в систему, будет положительным (Qг - |Q₂| > 0).

   • В результате необратимого процесса температура системы T₁ увеличивается, и температура окружения T₂ уменьшается.

2. Обратимый процесс:

   • В случае обратимого процесса система получает тепло от нагревателя и отдает тепло холодильнику без изменения общего количества теплоты (Qг - |Q₂| = 0).

   • Это возможно только в идеальных условиях и при идеальных процессах, например, при проведении процесса по циклу Карно.

   • Обратимость обеспечивает отсутствие энтропийных потерь, что соответствует равенству энтропии в начальном и конечном состояниях системы.

Таким образом, обратимость теплового процесса связана с тем, как система взаимодействует с окружающей средой и как происходит передача тепла.

Отношение $\frac{Q}{T}$, где Q - количество теплоты, переданное или полученное системой, а T - температура, иногда называется приведённой теплотой по Лоренцу. В обратимом тепловом процессе, в котором система переходит из состояния 1 в состояние 2 и обратно, сумма приведённых теплот равна нулю:

$\frac{Q_1}{T_1} + \frac{Q_2}{T_2} = 0$

Это выражение выражает равенство Клаузиуса, которое утверждает, что для обратимых тепловых процессов сумма приведенных теплот, переданных между телами и окружающей средой, равна нулю.

Таким образом, в обратимом круговом процессе сумма приведённых теплот, взятых по всем его этапам, равна нулю. Это свойство выражает один из аспектов второго начала термодинамики, которое предписывает, что для всех реальных процессов сумма энтропий системы и окружающей среды должна увеличиваться.

Отношение $\frac{Q}{T}$, где Q - количество теплоты, переданное или полученное системой, а T - температура, иногда называется приведённой теплотой по Лоренцу. В обратимом тепловом процессе, в котором система переходит из состояния 1 в состояние 2 и обратно, сумма приведённых теплот равна нулю:

$\frac{Q_1}{T_1} + \frac{Q_2}{T_2} = 0$

Это выражение выражает равенство Клаузиуса, которое утверждает, что для обратимых тепловых процессов сумма приведенных теплот, переданных между телами и окружающей средой, равна нулю.

Таким образом, в обратимом круговом процессе сумма приведённых теплот, взятых по всем его этапам, равна нулю. Это свойство выражает один из аспектов второго начала термодинамики, которое предписывает, что для всех реальных процессов сумма энтропий системы и окружающей среды должна увеличиваться.

Действительно, в равенстве Клаузиуса, ( T ) - температура системы, при которой ей сообщается элементарное количество теплоты, является полным дифференциалом некоторой функции ( S ), которая называется энтропией. Это выражается следующим образом:

$\delta Q = T , dS$

Здесь $\delta Q$ - элементарное количество теплоты, ( T ) - температура, и ( dS ) - полный дифференциал энтропии. Таким образом, ( T ) определяет изменение энтропии при передаче теплоты.

Энтропия является функцией состояния системы, потому что изменение энтропии зависит только от начального и конечного состояний системы и не зависит от того, каким образом система пришла в это состояние. Это соответствует одному из основных принципов второго начала термодинамики.

Энтропией ( S ) называется функция состояния системы, дифференциал которой в элементарном обратимом процессе равен отношению бесконечно малого количества теплоты $\delta Q$, сообщённого системе, к абсолютной температуре ( T ) последней:

$dS = \frac{\delta Q}{T}$

для обратимого процесса. Изменение энтропии в обратимом процессе, переводящем систему из состояния 1 в 2:

$\Delta S = S_2 - S_1 = \int_{1}^{2} \frac{\delta Q}{T}$

Энтропия была впервые введена Рудольфом Клаузиусом в 1865 году. Для обратимых процессов изменение энтропии равно нулю:

$\Delta S_{\text{обр}} = 0$

Это равенство соблюдается, так как изменение теплоты $Q_{\text{обр}}$ равно нулю в обратимых процессах $(Q_{\text{обр}} = 0)$, и, следовательно, тепловой процесс можно рассматривать как изоэнтропийный.

Изменение энтропии в изопроцессах

Энтропия системы является функцией её состояния, определённая с точностью до произвольной постоянной. Если система совершает равновесный переход из состояния 1 в состояние 2, то изменение энтропии:

$\Delta S = S_2 - S_1 = \frac{Q}{T}$

где ( Q ) - теплота, перешедшая в систему, а ( T ) - абсолютная температура системы.

$\Delta S = \frac{Q}{T}$

Таким образом, по этой формуле можно определить энтропию лишь с точностью до аддитивной постоянной, т.е. начало энтропии произвольно. Физический смысл имеет лишь разность энтропий.

Исходя из этого, найдем изменения энтропии в процессах идеального газа.

Изменение энтропии $\Delta S$ идеального газа при переходе из состояния 1 в состояние 2 не зависит от вида процесса 1→2. Каждый из изопроцессов идеального газа характеризуется своим изменением энтропии:

1. Изохорический процесс (при постоянном объеме): $\Delta S = mC_v \ln \left( \frac{T_2}{T_1} \right)$

2. Изобарический процесс (при постоянном давлении): $\Delta S = mC_p \ln \left( \frac{T_2}{T_1} \right)$

3. Изотермический процесс (при постоянной температуре): $\Delta S = mR \ln \left( \frac{V_2}{V_1} \right)$

4. Адиабатический процесс (без теплообмена): $\Delta S = 0$

Здесь ( m ) - масса газа, $C_v$ - удельная теплоемкость при постоянном объеме, $C_p$ - удельная теплоемкость при постоянном давлении, ( R ) - универсальная газовая постоянная.

1. Изобарический процесс (при постоянном давлении): $\Delta S = C_p \ln \left( \frac{T_2}{T_1} \right)$ (где $C_p$ - удельная теплоемкость при постоянном давлении, $T_1$ и $T_2$ - начальная и конечная температуры)

2. Изотермический процесс (при постоянной температуре): $\Delta S = R \ln \left( \frac{V_2}{V_1} \right)$ (где ( R ) - универсальная газовая постоянная, ($V_1$) и ($V_2$) - начальный и конечный объемы)

3. Адиабатический процесс: $\Delta S = 0$ (так как ( Q = 0 ); адиабатический процесс также называют изоэнтропийным процессом, поскольку энтропия ( S ) остается постоянной)

4. Плавление и кристаллизация:

   • Переход вещества из твердого состояния (фазы) в жидкое называется плавлением, а обратный процесс - кристаллизацией.

5. Тепловые эффекты:

   • При плавлении система поглощает тепло, в то время как при отвердевании она отдает тепло.

6. Температура плавления:

   • В процессе плавления температура системы остается постоянной до тех пор, пока вся система не расплавится. Эта температура называется температурой плавления.

   1. Закон плавления:

      • Количество тепла $\delta Q$, необходимое для плавления вещества массой $\delta m$, пропорционально этой массе: $\delta Q = \lambda \cdot \delta m$ где $\lambda$ - коэффициент пропорциональности, называемый удельной теплотой плавления. Этот коэффициент зависит только от вещества системы.

      Этот закон справедлив и для кристаллизации, правда, с одним отличием: при этом тепло выделяется системой. В обобщенном виде закон можно записать так:

      • при плавлении: $\delta Q = +\lambda \cdot \delta m$

      • при кристаллизации: $\delta Q = -\lambda \cdot \delta m$

      Можно использовать термодинамический смысл энтропии: с точки зрения термодинамики энтропия - это такая функция состояния системы, изменение которой ( dS ) в элементарном равновесном процессе равно отношению порции тепла $\delta Q$, которое система получает в этом процессе, к температуре системы ( T ):

      $\delta S = \frac{\delta Q}{T}$

   $\Delta S = +$

   Из этой формулы следует, что при плавлении энтропия возрастает, а при кристаллизации уменьшается. Физический смысл этого результата достаточно ясен: фазовая область молекулы в твердом теле гораздо меньше, чем в жидкости, так как в твердом теле каждой молекуле доступна только малая область пространства между соседними узлами кристаллической решетки, а в жидкости молекулы занимают всю область пространства.

Это означает, что твердое тело представляет собой более упорядоченную и менее хаотичную систему по сравнению с жидкостью. В результате у твердого тела энтропия меньше, чем у жидкости, при равной температуре.

1. В процессе испарения система поглощает теплоту, а в процессе конденсации теплоту отдает.

2. Температура, при которой жидкость переходит в газовую фазу, называется температурой кипения. Эта температура зависит от давления.

3. В процессе кипения система находится при постоянной температуре, пока вся жидкость не превратится в пар.

4. В процессе кипения система находится при постоянной температуре, пока вся жидкость не превратится в пар.

5. Температура кипения зависит от давления. При увеличении давления температура кипения также увеличивается, и наоборот, при уменьшении давления температура кипения уменьшается.

6. Процессы испарения и конденсации могут протекать в широком диапазоне температур, но фазовым переходом они считаются только тогда, когда процесс охватывает всю массу вещества.

7. Количество тепла, необходимое для испарения вещества, пропорционально массе вещества, которое испаряется. Коэффициент пропорциональности ( r ) называется удельной теплотой испарения.

8. Закон Шарля: объем газа, приходящего насыщенный пар при испарении, пропорционален объему жидкости, из которой происходит испарение.

9. Теплота парообразования, как и теплота плавления, связана с изменением фазы вещества и сопровождается изменением энтропии системы.

10. Энтропия системы, как функция состояния, изменяется при фазовых переходах, таких как испарение и конденсация. При испарении энтропия увеличивается, а при конденсации уменьшается.

11. Фазовый переход "твердое тело - жидкость" характеризуется явлениями плавления и кристаллизации. Закон плавления утверждает, что количество тепла, необходимое для плавления или кристаллизации вещества, пропорционально его массе.

12. Закон испарения указывает на то, что количество тепла, необходимое для испарения вещества, также пропорционально его массе. Удельная теплота испарения - константа, зависящая от вещества.

13. Закон Авогадро утверждает, что равные объемы газов, измеренные при одинаковых условиях температуры и давления, содержат одинаковое число молекул.

14. Уравнение состояния идеального газа (PV = nRT) описывает взаимосвязь давления, объема, количества молекул и температуры.

15. Закон Дальтона гласит, что полное давление смеси газов равно сумме давлений каждого газа в отдельности.

16. Критерии фазового равновесия включают условия равенства химических потенциалов при фазовых переходах.

где ( S ) - энтропия системы, ( Q ) - количество теплоты, ( T ) - температура.

Для обратимого процесса изменение энтропии можно выразить как: $\Delta S_{\text{обр}} = \frac{Q_{\text{обр}}}{T}$

Для необратимого процесса эта формула не справедлива. Однако в общем случае можно использовать аддитивность энтропии для системы: $\Delta S_{\text{необр}} = \sum \frac{Q_{\text{необр}}}{T}$

Здесь $Q_{\text{необр}}$ - количество теплоты, переданное или отданное системой в ходе необратимого процесса, а суммирование проводится по всем телам системы.

Изменение энтропии нагревателя $( \Delta S_{\text{нагр}} )$ при нагреве можно выразить как: $\Delta S_{\text{нагр}} = \frac{Q_{\text{нагр}}}{T}$

Аналогично, для холодильника $( \Delta S_{\text{хол}} )$ при охлаждении: $\Delta S_{\text{хол}} = \frac{Q_{\text{хол}}}{T_2}$

Где $Q_{\text{нагр}}$ и $Q_{\text{хол}}$ - количество теплоты, переданное нагревателю и холодильнику соответственно, а $T$ и $T_2$ - соответственно температуры нагрева и охлаждения.

Второе начало термодинамики можно сформулировать математически следующим образом: $dS \geq 0$

Это выражение гласит о том, что энтропия ($S$) замкнутой системы при любых происходящих в ней процессах не может убывать. Или, другими словами, энтропия системы может увеличиваться или оставаться неизменной, но не уменьшаться. Это является законом возрастания энтропии.

Тепловая смерть Вселенной — это гипотетическое состояние теплового равновесия, в котором все процессы в Вселенной прекратятся из-за увеличения энтропии до максимально возможного значения. Это состояние связано с идеей о том, что энтропия замкнутой системы может только увеличиваться или оставаться постоянной, и она не может уменьшаться в необратимых процессах.

Клаузиус выдвинул гипотезу о тепловой смерти Вселенной, предполагая, что со временем энтропия замкнутой системы, такой как Вселенная, будет увеличиваться до того уровня, когда процессы в ней полностью остановятся. В этом состоянии все равновесные температуры станут одинаковыми, и не будет возможности извлечь работу из системы. В конечном итоге, Вселенная достигнет теплового равновесия, и все формы жизни и деятельности прекратятся.

Гипотеза тепловой смерти Вселенной является интересным теоретическим предположением, но на данный момент нет определенных доказательств ее неизбежности.

При обратимом процессе:

$dS = \frac{\delta Q}{T}$

При необратимом процессе:

$\delta S > \frac{\delta Q}{T}$

Изменение энтропии больше, чем приведенная теплота. Оба эти выражения можно объединить следующим образом:

$dS \geq \frac{\delta Q}{T}$

Это математическое выражение представляет закон возрастания энтропии и является математической формулировкой второго начала термодинамики.

Уравнение, которое вы предоставили:

$TdS \geq dU + SA$

представляет объединенную форму первого и второго начал термодинамики. Здесь $TdS$ представляет изменение энтропии, $dU$ - изменение внутренней энергии, а $SA$ - совершенная работа системы.

Знак равенства указывает на обратимый процесс, а знак больше ($\geq$) указывает на необратимый процесс. Это выражение отражает законы сохранения и распределения энергии в системе и окружающей среде в процессе термодинамических изменений.

Второе начало термодинамики сформулировано в нескольких формах, и вот две из них, упомянутые в вашем вопросе:

1. Формулировка Кельвина: Невозможен процесс, в результате которого единственной рабочей частью станет теплота, полученная от одного источника (нагревателя), и вся эта теплота будет превращена в работу, не оставив следа теплоты. Иными словами, невозможен вечный двигатель второго рода.

2. Формулировка Клаузиуса: Невозможен процесс, в результате которого теплота передается от холодного тела к горячему телу без какого-либо внешнего воздействия. Это также подразумевает, что невозможно создать систему, которая будет полностью преобразовывать входящую теплоту в работу без потерь.

Обе формулировки подчеркивают невозможность создания устройства, которое может преобразовывать тепловую энергию в работу без каких-либо потерь или создавать периодический процесс, не требующий энергетического внешнего воздействия.

Третье начало термодинамики, или теорема Нернста, введено в термодинамике для устранения ограничений первого и второго начал относительно определения значения энтропии при абсолютном нуле температуры (Т=0 K). Нернст сформулировал данное начало в 1906 году.

Суть третьего начала термодинамики заключается в утверждении, что при абсолютном нуле температуры энтропия у чистого кристаллического вещества (с абсолютно упорядоченной структурой) равна нулю. Формально это выражается следующим образом:

$S(T=0 , K) = 0$

Таким образом, третье начало термодинамики разрешает определение энтропии в системах при абсолютном нуле температуры и утверждает, что в этом состоянии энтропия достигает своего минимального значения.

В соответствии с теоремой Нернста, изменение энтропии ($\Delta S$) стремится к нулю при любых обратимых изотермических процессах, происходящих между двумя равновесными состояниями при температурах, приближающихся к абсолютному нулю (т.е., $\Delta S \rightarrow 0$ при $T \rightarrow 0$). Нернст изначально сформулировал эту теорему для изолированных систем, а М. Планк расширил ее на случай любых систем, находящихся в термодинамическом равновесии.

Таким образом, при абсолютном нуле температуры энтропия системы достигает своего минимального значения, и всякий раз, когда система находится в термодинамическом равновесии при низких температурах, изменение энтропии стремится к нулю в обратимых изотермических процессах.

Верно, принцип Нернста, впоследствии развитый Планком, подразумевает, что при абсолютном нуле температуры энергия системы минимальна, но не достигает нуля. Это предположение поддерживает идею о недостижимости абсолютного нуля температуры.

Согласно Третьему началу термодинамики и принципу Нернста, невозможно охладить тело до абсолютного нуля температуры. Этот принцип означает, что при приближении к абсолютному нулю энтропия системы стремится к минимуму, и для достижения абсолютного нуля температуры требуется бесконечное количество энергии. Если бы было возможно охладить тело до абсолютного нуля, это привело бы к нарушению Третьего начала термодинамики и созданию вечного двигателя второго рода, что является противоречием.