22.11.2023 / Механические колебания

Тема: "Механические колебания"

1. Модель гармонического осциллятора. Свободные незатухающие колебания.

1.1. Основное уравнение движения

1.2. Основные характеристики.

1.3. Энергия гармонических колебаний.

1. Примеры незатухающих колебаний.

2.1. Пружинный маятник.

2.2. Математический маятник.

1. Свободные затухающие колебания

3.1. Дифференциальное уравнение

3.2. Основные характеристики колебаний

1. Вынужденные колебания

4.1. Дифференциальное уравнение

4.2. Амплитуда и фаза

4.3. Резонанс и резонансные кривые

Колебания — это повторяющийся во времени процесс, в ходе которого система изменяет свое состояние около точки равновесия. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике (качели, натянутая струна, переменный электрический ток и т.д.). Физическая природа колебаний может быть разной, поэтому различают колебания механические, электрические, электромагнитные и др. Однако различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и уравнениями, что обеспечивает единый подход к изучению колебаний различной физической природы.

В физике точка равновесия означает состояние объекта, когда все силы, действующие на него, сбалансированы, и его движение останавливается. Это словно "остановка" объекта, где все силы, толкающие его в разные направления, взаимно компенсируют друг друга. Колебания возможны лишь при отклонении системы от положения равновесия, при условии возникновения силы (или процесса), возвращающей систему в положение равновесия. Такое равновесие называют устойчивым.

Уравнение движения гармонического осциллятора:

$F_{\text{УПР}}(x) = -kx$

Где:

• $F_{\text{УПР}}$ - упругая сила,

• $k$ - коэффициент упругости,

• $x$ - отклонение от положения равновесия.

Модель гармонического осциллятора

Свободные незатухающие колебания называются свободными (или собственными), если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему. Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания - колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону косинуса (синуса).

Рассмотрим прямолинейные колебания материальной точки вдоль оси ( x ) около положения устойчивого равновесия, принятого за начало координат.

Консервативная сила — это такая сила, работа которой по перемещению частицы между двумя точками не зависит от пути перемещения. Диссипативные силы, напротив, вызывают затухание колебаний, переходящее в другие формы энергии, такие как теплота.

Осцилляторные – колебательные системы. Уравнение динамики гармонических колебаний, вызываемых упругими силами:

$X = A \cos(w_0 t + \phi)$

Где:

• $A$ – амплитуда колебания,

• $w_0$ – угловая частота,

• $t$ – время,

• $\phi$ – фаза колебания.

Состояние системы, совершающей гармонические колебания, повторяется через промежуток времени ( T ), называемый периодом колебаний. За один период фаза колебания получает приращение ( 2\pi ).

Скорость колебаний тела максимальна и равна амплитуде в момент прохождения через положение равновесия ($x=0$), то есть скорость опережает смещение на $\pi/2$.

Ускорение ( a ) равно нулю при прохождении тел

ом положения равновесия ($x=0$) и достигает наибольшего значения, равного амплитуде ускорения при наибольших смещениях ($x+A$), но по знаку всюду противоположно смещению, то есть смещение и ускорение находятся в противофазе (ускорение опережает смещение на $\pi$).

Энергия гармонических колебаний складывается из кинетической энергии движения и потенциальной энергии в поле упругой силы:

$E = \frac{mV^2}{2}$

Полная энергия остается постоянной, так как при гармонических колебаниях справедлив закон сохранения механической энергии, поскольку упругая сила консервативна.

Математический маятник

Идеализированная система, состоящая из невесомой, нерастяжимой нити длиной ( l ), на которую подвешена масса ( m ), находящаяся в одной точке (шарик на длинной тонкой нити). При отклонении маятника от вертикали возникает возвращающая сила.

Все реальные колебания механических систем являются затухающими, постепенно расходуясь на работу против сил трения, что приводит к уменьшению амплитуды колебаний. Рассмотрим колебания при наличии вязкого трения.

Добротность

Добротность обратна логарифмическому декременту затухания. Физический смысл добротности выявляется из рассмотрения энергии колебательной системы. Можно показать, что добротность пропорциональна отношению средней трении, запасенной осциллятором, к средним потерям энергии за период.

Отличия апериодического процесса от затухающих колебаний следующие. При колебаниях тело, возвращающееся в положение равновесия, имеет запас кинетической энергии. В случае апериодического движения энергия тела при возвращении в положение равновесия оказывается израсходованной на преодоление сил сопротивления трения.