22.02.2024 / Позиционные системы счисления

Система счисления

Система счисления — это способ наименования и обозначения чисел. Она представляет собой основанный на определенных правилах метод записи числовых значений.

Виды систем счисления

1. Позиционные системы счисления: Это системы, в которых значение числа зависит от его положения в записи. В основном, такие системы используют разные степени основания, чтобы представить числа. Примеры:

   • Десятичная система счисления: Основание 10, использует цифры от 0 до 9.

   • Двоичная система счисления: Основание 2, использует цифры 0 и 1.

   • Восьмеричная система счисления: Основание 8, использует цифры от 0 до 7.

   • Шестнадцатеричная система счисления: Основание 16, использует цифры от 0 до 9 и буквы от A до F.

2. Непозиционные системы счисления: В таких системах значение числа не зависит от его позиции в записи. Примером такой системы является Римская система счисления, где значения чисел обозначаются римскими цифрами (I, V, X, L, C, D, M), и их суммируют для получения числового значения.

Цифра - это знак (символ), используемый в системе счисления для обозначения чисел.

Позиционные системы счисления

• Основанием системы может быть любое натуральное число, большее единицы.

• Основание ПСС - это количество цифр, используемых для представления чисел.

• Значение цифры зависит от ее позиции, то есть одна и та же цифра соответствует разным значениям в зависимости от того, в какой позиции числа она стоит.

• Например: 555: 500; 50; 5.

• Любое позиционное число можно представить в виде суммы степеней основания системы.

Десятичная СС

• Основание системы - число 10;

• Содержит 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;

• Любое десятичное число можно представить в виде суммы степеней числа 10 - основания системы:

  • $2345 = 2×10^3 + 3×10^2 + 4×10^1 + 5×10^0$.

Двоичная СС

Основание системы - 2; Содержит 2 цифры: 0, 1. Любое двоичное число можно представить в виде суммы степеней числа 2, основания системы. Примеры двоичных чисел: 11100101; 10101.

Восьмеричная СС:

• Основание системы - 8;

• Содержит 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7;

• Любое восьмеричное число можно представить в виде суммы степеней числа 8 - основания системы;

• Примеры восьмеричных чисел: 2105, 73461.

Шестнадцатеричная СС

• Основание системы: 16

• Содержит 16 цифр: от 0 до 9 и от A до F

• Любое шестнадцатеричное число можно представить в виде суммы степеней числа 16, основания системы

Примеры шестнадцатеричных чисел: 21AF3; B09D

Правила перехода из десятичной системы счисления в любую другую:

1. Разделить десятичное число на основание исходной системы счисления.

2. Получится частное и остаток.

3. Частное снова разделить на основание. Получится частное и остаток.

4. Выполнять деление до тех пор, пока последнее частное не станет меньше основания новой системы счисления.

5. Записать последнее частное и все остатки в обратном порядке. Полученное число и будет записью исходного десятичного числа в новой системе счисления.

Связь позиционных систем счисления

2. Правило перехода из любой системы счисления в десятичную.

Для перехода из любой системы счисления в десятичную необходимо число представить в виде суммы степеней основания и найти его десятичное значение.

Пример:

• $111012 = 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 0 \times 2^0 = 8 + 4 + 2 + 0 = 14_{10}$

• $A1416 = 10 \times 16^3 + 1 \times 16^2 + 4 \times 16^1 + 1 \times 16^0 = 40960 + 256 + 64 + 1 = 41281_{10}$

Правило перехода из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную:

1. Для перехода из двоичной системы в восьмеричную:

   • Разбить двоичное число на группы по три цифры справа налево.

   • Заменить каждую группу соответствующей восьмеричной цифрой.

Пример: 1.110.101.100₂ = 1658₈

1. Для перехода из двоичной системы в шестнадцатеричную:

   • Разбить двоичное число на группы по четыре цифры справа налево.

   • Заменить каждую группу соответствующей шестнадцатеричной цифрой.

Пример: 1.1011.1000.1101₂ = 1B8D₁₆

Правило перехода из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную

• Каждую восьмеричную цифру заменить двоичным разрядом по три цифры в каждом.

• Разбить двоичное число на разряды справа налево по четыре цифры в каждом.

• Заменить каждый разряд соответствующей шестнадцатеричной цифрой.

Примеры:

• Для числа 2571 в восьмеричной системе: 2571 = 10.101.111.001 в двоичной системе

• Для числа F54D0 в шестнадцатеричной системе: F54D0 = 1111.0101.0100.1101.0000 в двоичной системе