# 18.04.2024 / Множества и логика

### Знания о множествах

* **U** – универсальное множество
* **A** – дополнение A до универсального множества
* **A·B** – пересечение (A ∩ B)
* **A+B** – объединение (A ∪ B)
* Множество задаётся логической функцией.

### Логические функции множеств

* A(x) = 1
* A(x) = 1 ⇔ x ∉ A ⇔ x ∈ A'
* A(x)B(x) = 1 ⇔ x ∈ A·B
* A(x) + B(x) = 1 ⇔ x ∈ A+B

### Задача дополнения

1. **Для A+B = U:**
   * A(x) + B(x) = 1 для всех x
   * Решение: A = B (условие: B(x) = 1)
   * Есть ли другие решения? A включает B (A⊆B)
   * Amin = Bmin
2. **Для A+B = U:**
   * Решение: A = B (условие: B(x) = 1)
   * Есть ли другие решения? A включает B (A⊆B)
   * Amax = Bmax

### Общий подход к решению

1. Сведение задачи к базовым задачам.
2. Использование готовых решений:
   * Задача 1: Amin = B
   * Задача 2: Amax = B

### Задачи с отрезками

* Даны отрезки P = \[37; 60] и Q = \[40; 77].
* Наименьшая длина отрезка A, чтобы (x∈P) → (((x∈Q) ^ ¬(x∈A)) → ¬(x∈P)):
  * Утверждения: P = (x∈P), Q = (x∈Q), A = (x∈A)
  * Условие: P→(QA→P)
  * Упрощение: P+(QA→P)
  * Решение: P+QA+P = P+Q+A
  * Amin = B = P∩Q = \[40; 60] (длина 20)

### Дополнительная задача

* Элементы множеств: P = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, Q = {4, 8, 12, 116}.
* Наименьшая сумма элементов множества A, чтобы (x∈P) → (((x∈Q) ^ ¬(x∈A)) → ¬(x∈P)).
